新建参数 r = 0.00001 、 p0 = 0 ，使当点 z 与点 z − f ( z ) / f '( z ) 间的距离首 次小于误差 r 时停止迭代，此时的点 z 就是 f ( z ) = 0 的近似解。为了记录停止
2 2 2 迭代时的迭代次数，我们计算 sgn(1 + sgn( x # + y # − r )) , 设标签为 p , 计算
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近似解的精度。 在复数集中， 求可导函数 w = f ( z ) 的复数零点， 可类似地通过作复平面上 的迭代 z → z − f ( z ) / f '( z ) ，便可找到所有复数零点。使用特殊的扫描方法， 扫描出来的图形，在三个复根两两间的边界处，会呈现出漂亮的“项链”， 这就是著名的牛顿分形。
H、S；计算 1-S
0.01
0.5
，设标签为 V。依次选中 H、S、V 和点 Z，对点 Z 进行着
色 HSV，设此色点为 Z HSV ，并作颜色变换 Z → Z HSV 。改 n=50，作扫描框并
3 0 的牛顿分形图(如下左 对扫描线施行颜色变换 Z → Z HSV ， 跟踪扫描得 z + 2 =
图)。选择“项链”从右边第 2 个环放大 5.5 倍，得下右图。
及其与 x 轴的交点， ……这样重复下去得到的 x 轴上的一列点， 且此点列无限 趋近于函数 y = f ( x) 的零点。
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新建参数 n=2， 以 n 为深度作 A→B 的完整迭代， 选中 B 的迭代像求迭代
3 0 近似解。增加 n 的值便增加 终点 D，度量 D 的横坐标 xD ，即方程的 x + 2 =
) x3 + 2 为例，在 x 轴上图象的零点附近任取一点 A，度量出 A 的横坐 以 f ( x= y A + f '( x A )( x − x A ) 与 x 轴的交点 B，同法度量出 B 标，作出 f ( x) 的切线 y = x A − f ( x A ) / f '( x A ) )，再作切线 的横坐标(也可以在切线方程中令 y=0，得 x= B
x − x # p、y − y # p 、设标签为 xM 、yM 、作点 M，计算 p0 + p ，则构造完毕迭
代原象{ Z，p0 }和迭代初象{ M ，p0 + p }。 2.设角度的单位为“弧度” ，定义坐标系，隐藏原点和单位点，在 x 轴上 作 值 为 p0 点 T ， 新 建 参 数 n=10 ， 以 此 为 深 度 ， 作 完 整 迭 代 { Z，p0 } → { M ，p0 + p }后，分别选中两迭代象求迭代终点 eT 和 eM，度量 eM 的坐标
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xeM 、yeM ，拖动点 Z 观察点 eM 的位置可以发现，eM 几乎固定出现在三个点
的位置(-1.260，0)、(0.630，1.091)、(0.630，-1.091)，这说明迭代点列分别收 敛于这三点，这就是方程 f ( z ) = 0 的三个近似复数根(如下图)。
3 0 的牛顿分形 四、拓展思考：作方程 z + 2 =
6 xy ，设标签为 dx、dy ，计算 f '( z ) 的倒数的实部和虚部
dx −dy 、 ， dx 2 + dy 2 dx 2 + dy 2
设 标 签 为 x *、y * , 再 计 算 f ( z ) / f '( z ) 的 实 部 ( xz3 + 2)x*-y z3 y* 和 虚 部
( xz3 + 2)y*+y z3 x* ，设标签为 x # 、y # 。
0 的根 牛顿迭代法求方程 x3 + 2 =
一、题目呈现
3 0 有一个无理根 − 3 2 ， 我们知道方程 x + 2 = 但 − 3 2 的近似值是多少？有没
有办法直接求出这个无理根的近似值呢？牛顿迭代法就给出了求解这类方程 的“完美”解答方法。用牛顿迭代法不仅可以给出这个方程实根的数值解， 还可以在复数集内找到它的全部复数根。 二、牛顿迭代法原理 如下图 实数集中可导函数 y = f ( x) 的零点就是方程 f ( x) = 0 的一个实根。
度量点 Z 与点 eM 的坐标 度量点 eT 的横坐标 xeM (Z 到 eM 的迭代次数)， 距离 Z | eM ，用幅角工具依次匹配 xeM 、yeM ,得点 eM 的幅角 arg ( z ) ，计算
arg ( z ) 、 0.05Z | eM − 0.2 ln( e − xeT -2 ) ，分别设标签为 0.5(0.05Z | eM + π
3 0 的复数根 三、牛顿迭代法求方程 z + 2 =
1.作迭代原象和初象 作点 Z，度量 Z 的横纵坐标 x、y ，用“z 立方”工具依次匹配 x、y 得 z 3
) z 3 + 2 的导数 f '( z ) 的实部 3( x 2 − y 2 ) 和虚部 的实部和虚部 xz3、y z3 ， 计算 f ( z=