求函数值域的12种方法一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

1.函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R；2.二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是[ab ac 442-，+)∞，当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]；3.反比例函数)0,0(≠≠=x k xky的值域为}0|{≠y y ；4.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R；6.函数)( cos ,sin R x x y x y ∈==的值域为[-1，1]；函数 ),2k (x tan Z k x y ∈+≠=ππ,cot xy =),(Z k k x ∈≠π的值域为R；7.对勾函数)0,0(≠>+=x a xa x y 的值域为),2[]2,(+∞⋃--∞a a ；8.形如)0,0(≠>-=x a xa x y 的值域为}0|{≠y y ；渐近线为y=x二、求值域的方法1.直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==,时，min y =1.例2求函数323y x =+-的值域。

解：由算术平方根的性质，知23x -≥0，故323y x =+-≥3.∴函数的值域为)∞+,3[.2.反函数法求值域对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例3求函数12x y x +=+的值域。

解：显然函数12x y x +=+的反函数为:121y x y -=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y∈R｝。

3.换元法求值域对形如)0,0(≠≠+++=c a d cx b ax y 的函数常设d cx t +=来求值域；对形如)0,0(2≠≠-++=c a cx c b ax y 的函数常用“三角换元”，如令αcos =x 来求值域。

例4求函数321y x x =-++的值域。

解：设21(0)t x t =+≥,则21(1)2x t =-。

于是221117(1)3(1)442222y t t t =--+=+-≥-=-.所以，原函数的值域为：7,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。

例5已知),(y x p 是圆422=+y x 上的点，试求xy y x t 322-+=的值域。

解：在三角函数章节中我们学过：1cos sin 22=∂+∂注意到422=+y x 可变形为：1)2()2(22=+y x令,0[,sin 2,cos 2∈∂∂=∂=yx 2π)则∂-=∂⨯∂⨯-=2sin 64sin 2cos 234t 4,0[2∈∂又π)即]1,1[2sin -∈∂故]10,2[-∈t 例6求函数21x x y -+=的值域解：∵1-x 2≥0,∴|x|≤1,设])2,2[(sin ππθθ-∈=x ,则)4sin(2cos sin πθθθ+=+=y 21,4344≤≤-∴≤+≤-y ππθπ例7求函数2()43f x x x x =+-+-的值域。

解：由22()43(2)1f x x x x x x =+-+-=+--+，令2sin x θ=+，其中,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()2sin cos 22sin()4f x πθθθ=++=++，因为,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以3,444πππθ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，从而2sin(),142πθ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，因此()1,22f x ⎡⎤∈+⎣⎦。

4.配方法求值域二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。

例8求x x x f 432)(2⨯-=+在区间[]1,0-内的最值。

解：配方得34)322(3432)(22+--=⨯-=+x x x x f []1,0x ∈- ，所以1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x=即0x =时()f x 取得最小值1。

5.用“方程判别式”法求值域对形如)0(222122221121≠+++++=a a c xb x ac x b x a y 的函数常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即0≥∆从而求得y 的范围，即值域。

值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。

例9求函数y =22122+-+-x x x x 的最值解：∵分母1)1(2+-x ≠0,∴定义域为R .原式化为)12()12()1(2-+---y x y x y =0.当y ≠1时，此二次方程有实根.∴△=)12)(1(4)12(2----y y y =)32)(12(+--y y ≥0，即21≤y ≤23；当y =1时，x =1，即x =1时，y =1∈[21,23].∴max y =23，min y =21.例10求函数y =4x 4132+×－2x的最值解：由y ＋2x=4x 4132+×平方整理得：2x 8－3yx 16+－0y 162=.由于x 为实数，∴△=2)16(y -－)163(842y -⨯≥0，故y ≥42或y ≤－42.当函数在x ＞0时，y =4x 4132+×－2x ＞4x 23×－2x =213-x＞0；在x ≤0时，显然有y ＞0，∴y ≤－42不属于所给函数的值域，这是由于在变形过程中采用了两边平方后而引起值域扩大的部分，应舍去.∴min y =42.6.利用函数的有界性求值域借助20,sin 1x x ≥≤等解决。

例如对形如dx b cx a y ++=cos sin ，由于正余弦函数都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。

例11求函数2241x y x +=-的值域。

解：由2241x y x +=-得241y x y +=-，有由20x ≥得401y y +≥-，解得41y y ≤- 或，∴函数值域为：(](),41,-∞-+∞ 例12求函数xxy cos 2sin -=的值域x x y y sin cos 2:=+解y x y 2)sin(12=-+⇒ϕy=ϕtan 其中212)sin(yyx +=-⇒ϕ1|)sin(|≤-∴ϕx 1|12|2≤+y y 即21|2|y y +≤⇒221)2(y y +≤⇒y x y x 2cos sin =-⇒R x ∈ 3333≤≤-y 解得：例13：试求函数)872(cos )872(cos 22ππ+--=x x y 的最大值。

解：根据余弦函数二倍角公式化简得：)47sin(sin 2)47cos()47cos(21)47cos(21)47cos(πππππ-=++-=++-+-=x x x x x y .22],22,22[],1,1[sin ,sin 22max =-∈∴-∈=y y x x 即 7.利用函数单调性求值域一般能用于求复合函数的值域或最值。

（原理：同增异减）例14求函数1413()3y x x x =--≤的值域。

由已知的函数是复合函数，即()13,()()g x x y f x g x =--=+，其定义域为13x ≤，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。

解：设()4f x x =,1()13()3g x x x =--≤,易知它们在定义域内为增函数，从而()()413y f x g x x x=+=--在定义域为1|3x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭上也为增函数，而且114()()333y f g ≤+=,因此，所求的函数值域为｛y|y≤34｝。

例15求函数)4(log 221x x y -=的值域。

解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：)4,0)(4)2()(2（所以∈+--=x f x x f 由复合函数的单调性（同增异减）知：),2[+∞-∈y 。

例16求函数：4522++=x x y 的最值。

解：定义域为R，虽然y =4x 14x 22+++≥2，但4x 14x 22+=+无解，∴等号不成立这说明y ＞2.可将原函数式配方得y =（424x +－424x 1+）2＋2，视2x 为未知元，对于2x 、424x +递增，424x 1+递减，－424x 1+递增.∴424x +－424x 1+递增，由于424x +－424x 1+＞0，∴（424x +－424x 1+）2也递增.而2x ≥0，∴2x ≥0时有最小值且无最大值.故当x =0时，min y =25.另解：22222543()4444x f x x x x x +==++-+++2344x ≥-+35422≥-=。

当且仅当22444x x +=+，即0x =时，等号成立，所以5(),2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭8.不等式法能利用几个重要不等式及推论来求得最值。

（如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+）例17当0>x 时，求函数248)(xx x f +=的最值，并指出)(x f 取最值时x 的值。

解：因为2244448)(xx x x x x f ++=+=可利用不等式33abc c b a ≥++即：324443)(x x x x f ∙∙≥所以12)(≥x f 当且仅当244xx =即1=x 时取”=”当1=x 时)(x f 取得最小值12。

9.构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形。

对于形如函数d c x b a x y +-±+-=22)()((b,d均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。

这是数形结合思想的体现。

例18求函数1sin ()2cos xf x x+=+的值域。

解：令1sin ()2cos xk f x x+==+，则k 可以看成坐标平面内过点(cos ,sin )A x x 、(2,1)B --直线的斜率。

因为(cos ,sin )A x x 点在圆221X Y +=上运动，因此，当直线BA 是此圆的切线时，斜率k 取得最值。

设过B 点的切线方程为1(2)Y k X +=+，则有22111k k -=+，解得10k =，243k =。

因此()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

例19求函数12122222+-+++++=x y x x y x z 的最小值解：∵2222)1()1(y x y x z +-+++=等价于“求动点),(y x P 到,)0,1(-A ),(01B 距离之和的最小值”，即PB P A +的最小值.∵PB P A +≥AB ，当且仅当P 在线段AB 上时，等号成立.故PB P A +的最小值为2AB =.即原函数的最小值为2.例20求函数8418622+-+++=x x x x y 的最小值解：将函数变为2222)20()2()30()3(-+-+-++=x x y ，在直角坐标系中，设)2,2(),3,3(B A -，问题可化为在X 轴上找一点P ，使PB P A +的值最小.∵A 、B 在X 轴同侧，取点A 关于X 轴的对称点)3,3(--A ，连B A ，交X 轴于),(0x P ，则直线B A 的方程为323x 323y ++=++，即x y =.令0y =得0x =，∴P 点坐标为),(00，25818y =+=min .例21求函数10x 2x y 2++=－222+-x x 的最大值解：22)30()1(-++=x y －22)10()1(-+-x ，在直角坐标系XOY 中，)3,1(-A 、),(11B ，问题化为在X 轴上求一点P ，使P A －PB 的值最大.∵A 、B 在X 轴同侧，直线AB 与X 轴的交点即为P 点.∴直线AB 的方程为111131---=--x y ，即0y x =+.0y =得2x =，点坐标为),(02.∴22max )30()12(-++=y －22)10()12(22=-+-.10、求导法：例22用总长14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积．解：设容器底面短边长为x m容器容积为y m 3，则另一边为(x+0.5)m,高为14.844(0.5)3.224x x h x--+==-∵⎩⎨⎧>>-0022.3x x ∴0<x<1.6y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6)，即y=-2x 3+2.2x 2+1.6x 令y’=-6x 2+4.4x+1.6=0,即15x 2-11x-4=0，解得x 1=1，x 2=-154(舍)在(0,16)内只有在x=1处使y’=0,若x 接近0或接近1.6m 时，y 接近0.故当x=1，y 最大=1.8当高为3.2-2×1=1.2m 时容器最大为1.8m 3。