第四章 线性方程组一 综述线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的.作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）.线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论. 二 要求掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论. 重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法.4.1 消元法一 教学思考本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法. 二 内容要求主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系. 三 教学过程1．引例：解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++25342333513121321321321x x x x x x x x x （1）定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换. 2．消元法的理论依据 3．转引在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因此在讨论线性方程组时,主要是研究它的系数和常数项.因而消元法的过程即用初等变换把方程组化为阶梯形方程组,来解决求解问题,此可转用另一种形式表述.为此引入：4．矩阵及其初等变换 1）概念定义 1 由t s ⨯个数ij c 排成的一个s 行t 列（数）表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛st s s t t c c cc c c c c c 212222111211叫做一个s 行t 列（或t s ⨯）矩阵.ij c 叫做这个矩阵的元素；常用大写字母A 、B 等表示矩阵,有时为明确t s ⨯矩阵记为t s A ⨯或()t s ij c A ⨯=.定义补 由线性方程组⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111的系数作成的矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211叫做线性方程组的系数矩阵,用A 表示；由它的系数和常数项作成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m mnm nn b a a b a a b a a 122211111叫做线性方程组的增广矩阵,用A 表示. 2）矩阵的初等变换定义2 矩阵的（列）初等变换指的是对一个矩阵作下列变换 （1）交换矩阵的两行（列）； （换法变换）（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换） （3）用一个数乘某行（列）后加到另一行（列）.（消法变换） 3）线性方程组的同解变换与矩阵的初等变换的关系显然,对一个线性方程组施行的同解变换即一个方程组的初等变换,相当于对它的增广矩阵施行对应的行初等变换；而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵.因此将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题,这样做不仅讨论起来方便,而且能够给予我们一种方法,就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组,而不必每次把未知量写出（我国古代数学书《九章算术》（三世纪）中就是用这种方法解线性方程组的,成为算筹.）下面的问题是,化简到什么形式、什么程度,理论上将给予解决.4）矩阵经初等变换（行、列）化为阶梯形矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211,则A 可经过一系列行初等变换和第一种列初等变换化为如下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛**********+00000000000010001011rr b ； 进而化为以下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++0000000000001000001000011212111 rn rr n r n r c c c c c c .其中"",,,0*≤≤≥n r m r r 表示不同的元素. 5）用矩阵的初等变换解线性方程组对线性方程组：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1） 由定理1其系数矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211可经过行初等变换和列换法变换化为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++0000000000001000001000011212111 rn rr n r n r c c c c c c ；则对其增广矩阵 A 作同样的初等变换可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++m r r rnrr n r d d d c c d c c B 00000000100001111111,从而方程组（1）与B 所对应的方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++=++++++++++m r r n rn r rr r n n r r n n r r d d d y c y c y dy c y c y d y c y c y 00111221122111111 （2）在某种意义上同解（此n y y y ,,,21 是n x x x ,,,21 的一个重新排序）.下面讨论（2）的解的情况：情形1：当m r <且m r d d ,,1 +不全为零时,因有矛盾式（2）无解,故（1）无解. 情形2：当m r =或m r <且01===+m r d d 时,（2）直观上无矛盾式,且与（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++++++++rn rn r rr r n n r r n n r r d y c y c y d y c y c y d y c y c y 11221122111111 同解. 当n r =时,（3）即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn d y d y d y 2211有唯一解；当n r =<时,（3）即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=++++++nrn r rr r r n n r r nn r r y c y c d y y c y c d y y c y c d y 11211222111111,于是任给n r y y ,,1 +一组值n r k k ,,1 +,可得（3）的一个解：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==---=---=---=++++++++n n r r n rn r rr r r n n r r nn r r k y k y k c k c d y kc k cd y k c k c d y 1111211222111111,这也是（1）的解,由n r k k ,,1 +的任意性（1）有无穷多解. 例1 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=++---=-+=+++215928252342532432143214214321x x x x x x x x x x x x x x x .解：对增广矩阵作行初等变换：所原方程组与方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+613212321243421x x x x x 同解,故原方程组的一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=434212161321223x x x x x .4.2 矩阵的秩 线性方程组可解判别法一 教学思考1．本节在上节消元法对线性方程组的解的讨论的基础上,引入了矩阵的秩的概念,以此来表述有解判定定理,在有解时从系数矩阵的秩与未知数的个数间的关系可讨论解的个数,其中在有无数解时引入了一般解与通解的概念.2．矩阵的秩的概念是一个重要的概念,学生易出问题.定义的表述不易理解,应指出秩是一个数（非负整数）r ,其含义是至少有一个r 阶非零子式,所有大于r 阶（若有时）子式全为0.重要的是“秩”的性质——初等变换下不变,提供了求秩的另一方法——初等变换法.3．本节内容与上一节和下一节互有联系,结论具体,方法规范,注意引导总结归纳. 二 内容要求1． 内容：矩阵的秩、线性方程组可解判定定理2． 要求：掌握矩阵的秩的概念、求法及线性方程组求解判定定理 二 教学过程1．矩阵的秩 （1）定义1）在矩阵s t A ⨯中,任取k 行k 列（,k s t ≤）位于这些行列交点处的元素构成的k 阶行列式叫作矩阵A 的一个k 阶子式.2）矩阵s t A ⨯中,不等于零的子式的最大阶数叫做矩阵A 的秩；若A 没有不等于零的子式,认为其秩为零.A 的秩记为秩（A ）或()r A .2．矩阵的秩的初等变换不变性 3．一般线性方程组解的理论对线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1） 由上节知,对（1）的系数矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211可经过行初等变换和列换法变换化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++0000000000001000001000011212111 rn rr n r n r c c c c c c ； 则对其增广矩阵A 作同样的初等变换可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++m r r rn rr n r d d d c c d c c B 0000000000100001111111.则（1）与B 相应的方程组同解；由上节讨论知：当m r =或m r <且01===+m r d d 时,即()()r A r A =时（1）有解；当m r <且m r d d ,,1 +不全为零时,即()()r A r A <时,（1）无解.总之：（1）有解()()r A r A ⇔=,且在（1）有解时：当r n =,即()()r A r A n ==时有唯一解；当r n <,即()()r A r A n =<时有无穷解.此即()()()r A r A r ⇔==；当r n =,即()()r A r A n ==时有唯一解；当r n <,即()()r A r A n =<时有无穷解.例1 判断方程组有无解？有解时,求一般解.例2 对λ进行讨论,何时方程组有解,无解；有解时求一般解.4.3 线性方程组的公式解一 教学思考1．本节在理论上解决了当线性方程组有解时,用原方程组的系数和常数项将解表示出来——即公式解,结论的实质是克拉默法则的应用.其中过程是在有解判定的基础上选择r 个适当方程而得,可归纳方法步骤（方程的选择、自由未知量的选择）,内容规范完整,理论作用较大,实用性较小.2．作为特殊的线性方程组——齐次线性方程组的解的理论有特殊的结果,易于叙述和理解,需注意其特殊性（与一般的区别,解的存在性、解的个数等）. 二 内容要求1．内容：线性方程组的公式解,齐次线性方程组的解2．要求：了解线性方程组的公式解,掌握齐次线性方程组的解的结论 三 教学过程1．线性方程组的公式解本节讨论当方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 （1）有解时,用方程组的系数和常数项把解表示出来的问题——公式解.处理这个问题用前面的方法——消元法是不行的,因为这个过程使得系数和常数项发生了改变,但其思想即化简得同解线性方程组的思想是重要的,所以现今能否用其它方法把（1）化简得同解方程组且系数和常数项不变,才可能寻求公式解.为此看例,考察12311232123322,()233,()47,()x x x G x x x G x x x G +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ （2）显然123,,G G G 间有关系3122G G G =+,此时称3G 是12,G G 的结果（即可用12,G G 线性表示）.则方程组（2）与⎩⎨⎧=+-=-+)(332)(2223211321G x x x G x x x 同解.同样地,把（1）中的m 个方程依次用12,,,m G G G 表示,若在这m 个方程中,某个方程i G 是其它若干个方程的结果,则可把（1）中的i G 舍去,从而达到化简的目的.即现在又得到化简（1）的方法：不考虑（1）中那些是其它若干个方程的结果,而剩下的方程构成与（1）同解的方程组.现在的问题是这样化简到何种程度为止,或曰这样化简的方程组最少要保留原方程组中多少个方程.由初等变换法,若（1）的()r A r =,则可把（1）归结为解一个含有r 个方程的线性方程组.同样,()()(0)r A r A r ==≠,则可以在（1）中的m 个方程中选取r 个方程,使得剩下的m r -个方程是这r 个方程的结果.因而解（1）归结为解由这r 个方程组成的方程组.下看如何解方程组：此时原方程组与111122111111112211r r r r n n r r rr r rr r rn n r a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b ++++++++++=⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪++++++=⎩⎭同解. 当r n =时有唯一解,且上述方程组的系数行列式不等于0,由克拉姆法则可得其解（公式解）. 当r n <时有无穷多解,取12,,,r r n x x x ++为自由未知量,将这些项移至等号右端得：111122111111112211r r r r n n r r rr r r rr r rn n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x +++++++=---⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪+++=---⎩⎭视12,,,r r n x x x ++为任意数,由克拉姆法则可得11,,rr D D x x DD==； （其中11111111111r r n nrJ r r rr r rn n rra b a x a x a D a b a x a x a ++++---=---）其展开为12,,,r r n x x x ++的表达式,且为用原方程组的系数及常数项表示的,因而是公式表示的一般解的形式.2．齐次线性方程组的解的理论齐次线性方程组1111110n n m mn n a x a x a x a x ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ （2）总有（零）解,因而关注的是其非零解的情况,由解的个数定理易得：Cor1：若（2）中m n <,则有非零解.（因()r A m n ≤<）Cor2：含有n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为0.（由秩的定义易得）。