1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b=2，求△ABC 面积的最大值．解：(1) 由余弦定理：conB=14sin 22A B ++cos2B= -14（2）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b=2， a 2+c2=ac+4≥2ac,得ac≤38,S △ABC =acsinB≤315(a=c 时取等号)1212 故S △ABC 的最大值为3152在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cosB 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值.解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B （II ）解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又所以a ＝c ＝63已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = （2，0），且m 与n 所成角为，π3其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角。

(1)求角B 的大小;(2)求 C A sin sin +的取值范围。

解：（1） m =()B B cos 1,sin -，且与向量n = （2，0）所成角为3π，∴3sin cos 1=-BB∴1cos sin3=+B A ∴21)6sin(=+πB 又 π<<B 0∴6766πππ<+<B ∴656ππ=+B ∴32π=B （2）由（1）知，32π=B ，∴A+C= 3π∴C A sin sin +=)3sin(sin A A -+π=A A cos 23sin 21+=)3sin(A +π30π<<A ，∴3233πππ<+<A ∴)3sin(A +π⎥⎦⎤ ⎝⎛∈1,23，∴ C A sin sin +⎥⎦⎤⎝⎛∈1,234已知向量(1,2sin )m A = ，(sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=满足 （I ）求A 的大小；（II ）求sin(6π+B 的值.解：（1）由m//n 得0cos 1sin 22=--A A ……2分即01cos cos 22=-+A A 1cos 21cos -==∴A A 或1cos ,-=∆A ABC A 的内角是 舍去 3π=∴A （2）ac b 3=+由正弦定理，23sin 3sin sin ==+A C B π32=+C B23)32sin(sin =-+∴B B π23)6sin(23sin 23cos 23=+=+∴πB B B 即5在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，C ＝2A ，43cos =A ，（1）求BC cos ,cos 的值；（2）若227=⋅BC BA ，求边AC 的长。

解：（1）81116921cos 22cos cos 2=-⨯=-==A A C 47sin ,43cos ;873sin ,81cos ====A A C C 得由得由　()169814387347cos cos sin sin cos cos =⨯-⨯=-=+-=∴C A C A C A B （2）24,227cos ,227=∴=∴=⋅ac B ac BC BA ①　又a A a c A C C c A a 23cos 2,2,sin sin ==∴== ②　由①②解得a=4，c=6　25169483616cos 2222=⨯-+=-+=∴B ac c a b 5=∴b ，即AC 边的长为5.6已知A B 、是△ABC 的两个内角，向量, sin22A B A B a +-= ，若||a =. （Ⅰ）试问B A tan tan ⋅是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由；（Ⅱ）求C tan 的最大值，并判断此时三角形的形状.解：（Ⅰ）由条件223||2a == 221cos()2cos sin 1cos()222A B A B A B A B +---=+=+++∴1cos()cos()2A B A B +=-∴3sin sin cos cos A B A B = ∴1tan tan 3A B ⋅=为定值.（Ⅱ）tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+=-+=--由（Ⅰ）知1tan tan 3A B ⋅=，∴tan ,tan 0A B >从而3tan (tan tan )2C A B =-+≤322-⋅=∴取等号条件是tan tan A B ==， 即6A B π== 取得最大值，7在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a+b=5，c=7，且.272cos 2sin 42=-+C B A (1) 求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.解：(1) ∵A+B+C=180°由272cos 2cos 4272cos 2sin 422=-=-+C C C B A 得 ∴27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C整理，得01cos 4cos 42=+-C C解 得：21cos =C ……5分 ∵︒<<︒1800C ∴C=60°（2）解：由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－ab∴ab b a 3)(72-+=由条件a+b=5得 7=25－3abab=6……10分∴23323621sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC 8已知角C B A ,,为ABC ∆的三个内角，其对边分别为c b a ,,，若)2sin ,2cos(A A -=m ，)2sin ,2(cos A A =n ，32=a ，且21=⋅n m ． （1）若ABC ∆的面积3=S ，求c b +的值．（2）求c b +的取值范围．解：（1）2sin ,2cos(A A m -=，)2sin ,2(cos A A n =，且21=⋅n m .212sin 2cos 22=+-∴A A ，即21cos =-A ，又),0(π∈A ，32π=∴A ………..2分又由3sin 21=⋅=∆A bc S ABC ，4=∴bc由余弦定理得：bc c b bc c b a ++=⋅-+=2222232cos2π2)(16c b +=∴，故4=+c b（2）由正弦定理得：432sin32sin sin sin ====πA a C c B b ，又3ππ=-=+A C B ，)3sin(4)3sin(4sin 4sin 4sin 4ππ+=-+=+=+∴B B B C B c b30π<<B ，则3233πππ<+<B .则13sin(23≤+<πB ，即c b +的取值范围是].4,32(…10分9在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且(tanA －tanB)＝1＋tanA·tanB ．(1)若a 2－ab ＝c 2－b 2，求A 、B 、C 的大小；(2)已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(cosB ，sinB)，求｜3m －2n ｜的取值范围．10在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，(2,)b c a =-m ，(cos ,cos )A C =-n ，且⊥m n 。

⑴求角A 的大小；⑵当22sin sin(2)6y B B π=++取最大值时，求角B 的大小解：⑴由⊥m n ，得0=A m n ，从而(2)cos cos 0b c A a C --=由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos 0B AC A A C --=2sin cos sin()0,2sin cos sin 0B A AC B A B -+=-= ,(0,)A B π∈，∴1sin 0,cos 2B A ≠=，∴3A π=（6分）⑵22sin sin(2)(1cos 2)sin 2coscos 2sin666y B B B B B πππ=++=-++112cos 21sin(226B B B π=-=+-由(1)得，270,2,366662B B ππππππ<<-<-<=∴2B -时，即3B π=时，y 取最大值211在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos B C ba c=-+2. （I ）求角B 的大小； （II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积.解：（I ）解法一：由正弦定理a Ab B cCR sin sin sin ===2得 a R A b R B c R C===222sin sin sin ，， 将上式代入已知cos cos cos cos sin sin sin B C b a c B C BA C=-+=-+22得 即20sin cos sin cos cos sin A B C B C B ++= 即20sin cos sin()A B B C ++=∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20 ∵sin cos A B ≠，∴，012=-∵B 为三角形的内角，∴B =23π.解法二：由余弦定理得cos cos B a c b ac C a b c ab =+-=+-22222222，将上式代入cos cos B C b a c a c b ac ab a b c ba c =-++-+-=-+2222222222得× 整理得a c b ac 222+-=-∴cos B a c b ac ac ac =+-=-=-2222212∵B 为三角形内角，∴B =23π （II ）将b a c B =+==13423，，π代入余弦定理b a c ac B 2222=+-cos 得 b a c ac ac B 2222=+--()cos ，∴131621123=--=ac ac ()，∴ ∴S ac B ABC △==12343sin . 12ABC ∆中，a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边，关于x的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集． （1）求角C 的最大值；（2）若72c =，ABC ∆的面积S =，求当角C 取最大值时a b +的值．解析：（1）显然0cos =C 不合题意， 则有cos 00C >⎧⎨∆≤⎩，即2cos 016sin 24cos 0C C C >⎧⎨-≤⎩， 即cos 01cos 2cos 2C C C >⎧⎪⎨≤-≥⎪⎩或， 故1cos 2C ≥，∴角C 的最大值为60︒。