m

k1 km
1

k2 km
2
L

km1 km
m 1

1 km
b
即m可以由1,2,…,m-1,b 线性表示.
8
4. 证明向量组1,2,…,s （其中1≠0, s >1）线性 相关的充要条件是至少有一个i(1<i≤s)可以由向量 组1,2,…,i-1线性表示.
证明：必要性. 向量组1,2,…,s 线性相关, 则有不全为0的
数 k1, k2, …, ks, 使
k11 k22 L kss 0
(1)
在k1, k2, …, ks中找最后一个不为0的数ki . 即
ki ≠0，而ki+1=…=ks=0，
显然i >1. 否则此时(1)化为 k11=0, 且k1 ≠0，故
所以 3 22 1
6
2. 设向量1,2,3 线性相关，向量组2,3,4线性无
关，问：
(1) 1能否用2,3 线性表示 ？证明你的结论 (2) 4能否由1,2,3 线性表示？证明你的结论
解：(1) 因为向量组2,3,4 线性无关，所以2,3线性无关，又
第一，A可以由B线性表示。（已经满足）
第二，B是线性无关的向量组。
由于B是A的部分组，所以B可以由A线性表示,同 时A可由B线性表示，故向量组A与B是等价的，因此 其秩相同.
向量组B的秩为r，且有r个向量，所以B线性无关. 所以，B是A的一个极大线性无关组.
12
本次作业
第三章习题
• 1. • 2. • 3. • 5. • 6.
2

＝B.
R(A) = R(B)
0 0 t 5
5
(1)当R(A)=3时，向量组线性无关，此时t≠ 5. (2)当R(A)<3时，向量组线性相关, 此时t = 5.
(3)当t=5时，
1 0 1
A

B


0 0
1 0
2 0

A的列向量组与B的列向量组有相同的线性关系
向量1,2,3 线性相关 ，所以1能用2,3 线性表示.
(2) 4 不能由1,2,3 线性表示. 否则，设
4 k11 k22 k33
由(1)知1能用2,3 线性表示. 设 1 l22 l33
则有 4 k1(l22 l33 ) k22 k33 即： 4 (k1l2 k2 )2 (k1l3 k3 )3
5. 设t1,t2,L
, t s是互不相同的实数，向量i

(1, ti , ti2,L
,
t n1 i
)T
(i
1,2,L
, s),试讨论向量组1,2,L
,
的线性相关性.
s
【课本习题11，有所不同需要讨论】
6. 已知向量组A：{1,2,L ,s } 的秩为r，向量组B：
{i1,i2 ,L ,ir } 是向量组A的一个部分组，且A可
关，问：
(1) 1能否用2,3 线性表示 ？证明你的结论 (2) 4能否由1,2,3 线性表示？证明你的结论 3. 设向量b 可以由向量组1,2,…,m线性表示, 但 是不能由向量组1,2,…,m-1线性表示.证明m可 以由1,2,…,m-1,b 线性表示.
2
4.证明向量组1,2,…,s （其中1≠0, s >1）线 性相关的充要条件是至少有一个i(1<i≤s)可以由向 量组1,2,…,i-1线性表示.
t2 L
A
1,2 ,L ,s

t12
t22 L
M M L

t n1
1
t n1 2
L
A的前s行构成的s阶子式为
1
ts

t s2

M
t
n1 s

1 1L
t1 t2 L
L LL
t s1
1
t s1 2
L
1
ts

(t j
1i js
ti )
≠
0.(因t1,t2,…,ts互不相同)
则4 可由2,3线性表出，于是2,3,4 线性相关，
这与题设矛盾. 所以，4 不能由1,2,3 线性表示. 7
3. 设向量b 可以由向量组1,2,…,m线性表示, 但 是不能由向量组1,2,…,m-1线性表示.证明m可 以由1,2,…,m-1,b 线性表示.
13
证明：向量b 可以由向量组1,2,…,m线性表示,设
b k11 k22 L km1 m1 kmm (1)
若km=0, 则(1)式化为
b k11 k22 L km1 m1
这表示向量b可由向量组1,2,…,m-1线性表示
这与给定条件矛盾. 则(1)式必有km≠0, 故
以由B线性表示，证明: B是A的一个极大线性无 关组.
3
答案
4
1. 已知向量 1T (1,1,1),2T (1,2,3),3T (1,3,t)
（1）t 为何值时，1,2,3 线性无关 ？ （2）t 为何值时，1,2,3 线性相关 ？ （3）当1,2,3 线性相关时，用1,2 线性表示3.
线性相关。
10
5. 设t1 , t2 ,L
, t s是互不相同的实数，向量i

(1, ti , ti2,L
,
t n1 i
)T
(i

1, 2,L
, s),试讨论向量组1,2,L
,
的线性相关性.
s
解：向量i 的维数是n，故当s > n时，向量组线性相关.
当s≤ n时，令
1 1 L

t1
L 故其列向量组线性无关，从而其
t s1 s
加长向量组1,2,…,s线性无1关1 .
6. 已知向量组A：{1,2,L ,s } 的秩为r，向量组B：
{i1,i2 ,L ,ir } 是向量组A的一个部分组，且A可
以由B线性表示，证明: B是A的一个极大线性无 关组.
证明：要证明B是A的极大无关组，有两个条件，
第三章 习题1
1
1. 已知向量 1T (1,1,1),2T (1,2,3),3T (1,3,t)
（1）t 为何值时，1,2,3 线性无关 ？ （2）t 为何值时，1,2,3 线性相关 ？ （3）当1,2,3 线性相关时，用1,2 线性表示3.
2.设向量1,2,3 线性相关，向量组2,3,4线性无
解：令矩阵A＝(1,2,3), 对A进行一系列的初等行变
换，将它化成行阶梯型矩阵
1 1
A

1
,
2
,
3



1
2
1 3
r1r2 1 0 -1
1
3 t

r3r2 1
r2r1 0
0
1 1 1
1
t
2
3
r3r2 0 1
只能1＝0. 这与1≠0矛盾.
因此(1)化为
i

k1 ki
1

k2 ki
2
L

ki 1 ki

i
1Байду номын сангаас
即至少有一个i(1<i≤s)可以由向量组1,2,…,i-1线性
表示.
9
充分性，如果有一个 i (1 i s) 可以由向量组
1,2 ,L ,i-1 线性表示 ，则αi可由其余s-1个 向量线性表出，由定义， 向量组 1,2 ,L ,s