因此，对于一个处于高斯正焦状态的理想磁透镜而言，像函数是 物函数的完全“再现”，成像过程不会造成图像失真。换句话说,对于 一个正焦的理想透镜而言,我们无法在想平面上看到相位物体的任何
像上的对应点为 g（x, y）。我们知道，对于任何周期函数，都可以进 行 Fourier 展开成为周期函数（如正玄函数、指数函数等）之和。因 此，对于 g（x, y），可以展开为：
∑ g(x, y) = g(r) = G(ux , u y )exp(2πi(xu x + yuy )) u x,y
= ∑ G(u)exp(2πik ⋅ r) u
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糊函数，或点扩展函数，也被称为脉冲响应函数，原因是透镜系统有 缺陷，包括衍射效应，球差、色差、聚焦、光阑函数等。在非相干光 学成像系统中，点扩展函数对应于衬度传递函数的 Fourier 变换：
h(r − r') = cos2 (x, y) + sin 2 (x, y)
G(k)=H(k)F(k) 意即，实空间的卷积，在倒空间变成了简单的乘积形式了。 对于理想透镜（指无衍射效应，无限大透镜，无象差、畸变下）， H(k)≡1，像函数等于物函数与脉冲响应函数的卷积。显然,这个函数 只是一个放大了的透射波,其强度是:
I = Ψ(x, y) 2= exp(-iσVt (x, y) 2 = 1
在这一章节中，先介绍要一下有关高分辨电子显微学的一些基本理论和概念。 之后，讨论一下高分辨电子显微术的图像模拟方法，以及主要应用对象，并简单 介绍一下近年来高分辨电子显微学的一些新进展，如球差矫正（Cs corrector）， 以及出射波重构（exit wave reconstruction）等新技术。
)
exp(−2πikrq ) rq
cosθ
− cosθq
dσ
式中θ和θq 分别是面积微元 dσ的法线方向与矢量 rr 和 rrq 的夹角。
基尔霍夫公式的主要用途不在于解释波在真空中的传播，而是为
了研究波在透过样品以后的传播及波函数ψ(x,y)在观测点的分布。
作为一个简单的例子，入射波是位于 Q 的单位强度的点光源发出的球
似。菲涅尔近似的本质就是在近光轴区域用抛物面形的电子波代替球
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面电子波。在菲涅尔近似下，有
ψ
(x,
y)
=
i
exp(−2πikZ ) Zλ
∫∫
q( X
,Y
)
exp
−
2πik[(x
−
X )2 2R
+
(
y
−Y
)2
]
dXdY
= q(x, yபைடு நூலகம் * PR (x, y)
这里 u 为倒易空间的矢量，即特定方向上的空间频谱。根据 Fourier 定理，展开系数 G(k)为 g(x,y)的 Fourier 变换。
同样的道理，物函数 f(x,y)也可以表达成类似的形式， 即 F(k)为 物函数 f(x,y)的 Fourier 变换。点扩展函数(或脉冲响应函数)h(x,y) 也 可以表达成类似的形式，即 H(k)为点扩展函数 h(r)的 Fourier 变换。 由于脉冲响应函数 h(x,y)描述了在实空间从物到图像的信息传递过 程，因此，H(k)则描述了倒空间中信息的传递过程，被称为衬度传递 函数（CTF）。总的像函数可以写成以下形式：
1、 Abbe 成像原理
尽管电子显微镜已经成为重要的现代分析手段，其电子光学成像 原理可以用物理光学的 Abbe 成像原理进行说明。过去，人们在讨论 透镜成像时，仅局限于样品的物点与像点之间的对应关系。一百多年 前的 1873 年，Ernst Abbe（阿贝）在研究如何提高显微镜的分辨率时， 提出了一个相干成像的新理论。阿贝从物体空间频率信息的分解与合 成的角度，研究了透镜的成像过程。具体方法是，把一束单色平行光 照射到平面物体 ABC 上，使整个系统成为相干成像系统。单色光波 通过透镜后发生 Fraunhofer 衍射，透射波中蕴含了样品的空间频率信
向。上式可以直接应用于高能电子经样品散射后的传播过程的研究。
在实际问题中，为了简化，可以在基尔霍夫公式引入适当的近似
与假设。Fresnel 衍射，就是一种近场、小角近似下的衍射过程（平 面波近似）。
首先，假设入射波为一平面波，则在离样品距离为 R 的观察点的
波函数为：
ψ
(x,
y)
=
i 2λ
∫∫
q(
X
过程是一个线性变换过程，其基本特征是，若干个输入信号所产生的
响应等于单个输入信号的响应之和，即：
∑ ∑
S
i
ai qi (x, y)
}
=
i
ai Sqi (x, y)
}
3. 菲聂尔衍射过程－小角近似、进场近似
由于通过求解薛定厄方程解决电子波的传播过程和衍射过程非常
复杂，所以一般用物理光学的方法来处理电子波的传播、衍射和成像
高分辨透射电镜的成像过程可以大致分为三个过程： 1）、入射电子束在晶体内的散射； 2）、各散射波透过样品后，在后焦面上形成的衍射波； 3）、各衍射波相互干涉，在像平面上形成图像。 对于样品中的点（x, y），设它的物（样品）函数为 f（x, y），在图
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q(r)
Q(u) = F{q(r)}
ψ (r) = F −1 {Q(u)} = q(r)
图 5－1 理想透射电镜磁透镜的 Abbe 成像原理
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2. 线性系统
由于在晶体中传播的电子波函数满足线性的薛定愕方程，所以电
子透镜成像系统可以被看成是线性变换系统。高分辨透射电镜的成像
电子透镜的脉冲响应函数就是菲涅尔传播因子。菲涅尔衍射的强度分
布可以用半波带方法和菲涅尔积分求出。
4. 光学系统的作用与传递函数(Transfer Function)
和光学成像系统一样，电子光学成像系统-磁透镜的作用是，把样 品中每一点 point（x, y）转换成图像中的扩展区域（extended region）， 如图 2 所示:
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面波，照射在一个二维物体上，其透射函数为 q( X ,Y ) ，在观察点 P 波
函数可以写为，
{ } ψ (x, y) =
i 2λ
∫∫
exp(−2πikrq rq
)
q(
X
,
Y
)
exp(−2πikr r
)
cosθ
+ cosθq
dXdY
其中 X，Y 是固定在样品上的坐标，Z 沿样品所在平面的法线方
1957 年，美国 Arizona 洲立大学物理系的 Cowley 教授等利用物理光学方法来研究 电子束与固体的相互作用，并用所谓“多层法”计算相位衬度随样品厚度、离焦量的变 化，从而定量地解释所观察到的相位衬度像，即所谓高分辨像，从而建立和完善了高分 辨电子显微学的物理基础。1971 年，Cowley、Iijima 等人首次获得了可直接解释的氧化 物晶体的高分辨电镜像，证实了他们所看到的高分辨像与晶体结构之间具有对应关系， 实际上是晶体结构沿着特定方向上的二维投影。这一时期高分辨电子显微像的分辨率已 优于 4 埃。 Cowley、Iijima 的工作开创了一个应用高分辨电子显微学的新时代，从此 高分辨电子显微术开始被广泛地利用与多种领域，成为现代物理、化学、材料科学、矿 物学、生物学等多种学科研究的常用技术。
,Y
)
exp(−2πikr) r
{cosθ
+
1}dXdY
式中 r 2 = (x − X )2 + ( y − Y )2 + R2 。
其次，如果入射波的波长很短(如高能电子波)，并且观察点到样
品的距离 R 远远大于样品上的被观测范围(X,Y 的最大取值范围)和观
测点的活动范围(x,y 的最大取值范围)，则任一观测点所观察到的衍
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一、相位衬度 (phase contrast): 干涉条纹 fringes
1. 透射电镜成像原理
高 分 辨 电 子 显 微 镜 的 成 像 机 制 是 所 谓 的 相 位 衬 度 (phase contrast)，即假设穿过样品后，电子束的强度基本不发生变化，仅仅 是电子的相位受到周期晶体势场的调制而改变，从而使得出射电子束 携带了晶体的结构细节信息。高分辨透射电镜的成像过程是一个利用 透射束与许多衍射束之间相互干涉后形成点阵条纹像的过程。因此， 高分辨成像理论，或相位衬度理论是一个多束成像理论。在特定条件 下，点阵条纹像（高分辨像，HRTEM）与晶体结构存在一一对应的 关系，此时才能称为高分辨结构像。
对于样品中的点 A、B, 有样品函数 fA(x, y)、fB(x, y)
光学系统
gA
gB
图像中对应的扩展盘 gA、gB(x, y)
图 5－2 光学成像系统示意图：样品中的点经过成像系统后，在 图像面上被转换成为扩展盘。
对于透射电镜，由于考虑的是相干成像过程，系统的传递函数与 衬度传递函数（CTF）是有区别的。
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第五章 相位衬度的起源与理论-高分辨理论
高分辨研究简史
关于高分辨透射电子显微镜的基本成像理论，Boersch 早在 1946 年在研究电子与 原子的相互作用时就提出，固体中的原子会对在其中传播的电子束进行调制，改变电 子波的相位。他认为，利用电子波的相位变化，有可能观察到单个原子，可以用来分 析固体中原子的排列方式。这一理论实际上成为现代实验高分辨电子显微分析方法的理 论依据；1947 年，德国科学家 Scherzer 提出，磁透镜的离焦（defocus，即所谓的 Scherzer 最佳欠焦量，而非通常的高斯正焦）能够补偿因透镜缺陷（球差）引起的相位差，从而 可显著提高电子显微镜的空间分辨率。