其根 1,2 a
a2 4b 2
称为特征根。
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第7章 微分方程与差分方程
根据特征根的情况确定方程通解的形式
特征根
通
解
1 yx A11x A22x yx ( A1 A2 x)1x yx r x ( A1 cos x A2 sin x)
按 (2) 求解。
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第7章 微分方程与差分方程
于是，方程的特解为 Pt a c
bd
对应的齐次方程的通解为 A( d )t ，所求问题的
b
通解为
Pt
A( d )t b
ac bd
当 t 0 时，Pt P（0 初始价格），代人通解得
A
P0
ac bd
,
则满足初始条件的特解为
求价格随时间变化的规律。
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第7章 微分方程与差分方程
解 假设在每一时期中价格总是确定在
市场出清的水平上，即 St Dt ，因此得到
c dPt1 a bPt
bPt dPt1 a c
得差分方程
Pt
d b
Pt 1
a
b
c
由于 d 0,b 0
所以
d b
1，故方程是形如（2）的方程，
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
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第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
yx2 2 yx1 yx 2 yx
于是方程转化为 2 yx c
所以 yx cx ，
yx
1 cx(2) 2
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第7章 微分方程与差分方程
例6 求差分方程 yx2 yx1 2 yx 12 的
通解及 y0 0 , y1 0 时的特解
解 特征方程 2 2 0
k c , 2a
方程有特解
yx
cx 2a
当 1 a b 0 且 a 2 时，取 s 2 ，
即 y x kx2，代人方程得
k 1c, 2
方程有特解
yx
1 2
cx 2
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第7章 微分方程与差分方程
事实上，当 1 a b 0 ,a 2 时，方程
（6）的左端为
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第7章 微分方程与差分方程
由通解的定义知，yx AYx 是齐次方程的通解， 而 y x 是非齐次方程的一个特解，故 AYx y x是 非齐次方程的解，而且含有任意常数，因此是
非齐次方程（1）的通解。
非齐次方程 yx1 a yx f ( x)
通解
yx AYx y x ( A为任意常数)
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第7章 微分方程与差分方程
二阶常系数线性差分方程的通解
=对应的齐次方程的通解+非齐次方程的特解
1）二阶常系数线性齐次差分方程的通解
设 Yx x ( 0) 为一特解， 代人方程
（5）得
x2 a x1 b x 0
2 a b 0 称其为（5）的特征方程
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第7章 微分方程与差分方程
一阶常系数线性差分方程的解法 1）齐次方程 yx1 a yx 0 (a为非零常数) 的解法
设 y0 已知，将 x 0,1 ,2 , 依次代人 yx1 a yx 中得 y1 ay0 , y2 ay1 a2 y0 , y3 ay2 a3 y0 , 一般地，yx a x y0 ( x 0,1,2, ) , 可以验证， yx ax y0 满足差分方程，因此是差分方程的解 这种解法称为迭代法。
齐次方程 的通解
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非齐次方 程的特解
第7章 微分方程与差分方程
首先求齐次方程 yx1 a yx 0 的通解 设 Yx x ( 0) 是此方程的一个特解， 代人方程中得 x1 a x 0 ( 0)
a 0 称为特征方程，其根 a 称为特征根，故 Yx a x 是此齐次方程的一个 特解，因此 yx Aa x ( A为任意常数) 是它的通解
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第7章 微分方程与差分方程
2）一般解法 若 y x是方程（1）的一个特解， 即
y x1 a y x f ( x)
它与方程（1）相减得
( yx1 y x1 ) a( yx y x ) 0
令 Yx yx1 y x1 ，即 Yx是对应齐次方程的解， 由前面知，AYx ( A为任意常数) 也是齐次方程的解
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第7章 微分方程与差分方程
因此猜想方程的解为
yx a x y0 c(1 a a2 a x1 )
当
a
1时，yx
ax
y0
1 ax c
1a
( x 0,1,2, )
(
y0
1
c
a
)a
x
1
c
a
当 a 1时，yx y0 c x ( x 0,1,2, ) 可以验证在这两种情况下 yx均为方程的解。
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第7章 微分方程与差分方程
例1 求差分方程 yx1 3 yx 2 的通解 解 由题意 a 3 1 ,c 2 , 代人 (2) 式得通解
yx A• 3x 1
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第7章 微分方程与差分方程
(2) f ( x) cbx (其中c,b 1 均为常数)
方程转化为 yx1 a yx cbx (3)
利用待定系数法 设方程具有形如 y x kxsbx 的特解
当 b a时，取 s 0，即 y x kbx，代人方程得
kbx1 akbx cbx
k c ba
于是
yx
cb x ba
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第7章 微分方程与差分方程
当 b a时，取 s 0，
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第7章 微分方程与差分方程
例3 求差分方程 yx1 2 yx 3x2的通解 解 设 y x B0 B1x B2 x2 ，代人原方程
B0 B1( x 1) B2( x 1)2 2B0 2B1x 2B2 x2 3x2 (B0 B1 B2 ) (B1 2B2 )x B2 x2 3x2
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
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第7章 微分方程与差分方程
Pt
( P0
a c )( d )t bd b
ac bd
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第7章 微分方程与差分方程
2. 二阶常系数线性差分方程 形如 yx2 a yx1 byx f ( x) (4)
(其中a,b 0 均为常数，f ( x) 是已知函数)
的差分方程称为二阶常系数线性差分方程。 当 f ( x) 0 时，方程（4）称为非齐次的； 当 f ( x) 0 时，方程 yx2 a yx1 byx 0 (5) 称其为方程（4）对应的齐次方程。
故 yx 2x(2) 2x 2( x(2) x(1) )
所以
yx
2( 1 3
x(3)
1 2
x(2) )
2 3
x( x
1)( x
2)
x( x
1)
2(x3 3x2 2x) x2 x 2 x3 x2 1 x
3
3
3
通解为
yx
2 3
x3
x2
1 3
x
A
( A为任意常数)
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比较系数得 B0 9 , B1 6 , B2 3 原方程的特解为 y x 9 6x 3x2 对应齐次方程的通解为 A • 2x，故原方程的通解
yx 9 6x 3x2 A • 2x ( A为任意常数)
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第7章 微分方程与差分方程
例4 求差分方程 yx1 yx 2x2 的通解 解 方程转化为 yx 2x2 而 x2 x( x 1) x x(2) x
第7章 微分方程与差分方程
例5 在农业生产中，种植先于产出及产 品的出售一个适当的时期，t 时期该产品的价 格 Pt 决定着生产者在下一时期愿意在市场上 提供的产量 St1 ，Pt 还决定着本期该产品的需 求量 Dt，因此有
Dt a bPt , St c dPt1 (a,b,c,d均为正常数)
设方程（6）具有形式为 y x kxs的特解
当 1 a b 0 时，取 s 0 ，即 y x k ，代人
方程得 k c ,
1 a b
方程有特解
yx
1
c a
b
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第7章 微分方程与差分方程
当 1 a b 0 且 a 2 时，取 s 1 ，
即 y x kx ，代人方程得
a
( A为任意常数) (2)
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1 时，取 s 1 ，将 y x kx 代人方程得 k c , 此时方程的特解为 y x cx，而当 a 1时， 对应的齐次方程的通解为 yx A ，故此方程的