yt 2 ayt 1 byt f (t )
对应齐次方程 yt 2 ayt 1 byt 0
(1) (2)
1.方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解 是(1)的解； 2.方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 . 定理2 设 yt 是方程(1)的一个特解,
yc (t ) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
t 而 0 ,于是有
a b 0
2
(3)
代数方程(3)称为差分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
4
a b 0
2
(3)
记
a 4b ,
2
情形1 若 0 , 则特征方程(3)有两个相异的实根
a , 1, 2 2 t t 得到方程(2)的两个特解 y1 ( t ) 1 ,y2 ( t ) 2 ,
特征方程为 2 4 4 0
解得 1， 2 , 2
t 故所求通解为 yc (C1 C2t )2
9
例3 求差分方程 yt 2 yt 1 yt 0 的通解.
解 特征方程为
2 1 0

3 0 ,
故所求通解为 yc ( t ) C1 cos t C 2 si n t 3 3
于是(2)的通解为
情形2 若 0 , 则特征方程(3)有两个相等的实根 a a t 1, 2 , 只得到方程(2)的一个特解 y1 ( t ) ( ) , 2 2
a t yc ( t ) (C1 C 2 t )( ) 2
6
情形3 若 0 , 则特征方程(3)有一对共轭复根
y t yc ( t ) y t .
3
一、二阶常系数齐次线性差分方程的解法
yt 2 ayt 1 byt 0
(2)
t 下面来寻找方程 (2)的形如 y t ( 0) 的特解.
将 yt t 代入方程(2),得 (2 a b) t 0 ,
13
例5
解
求差分方程 yt 2 4 yt 1 4 yt 5 t 的通解.
已求出对应齐次方程的通解为
yc (C1 C2t )2t
因为 f (t ) (5 t ) 1t , q 1 不是特征根, 则设形式特解为
yt A Bt , 代入原差分方程得 A 7 , B 1 ,
7
小结 y ay by 0 , 2 a b 0 t 2 t 1 t
特征根的情况
实根 r1 r2 通解的表达式
t yc ( t ) C11 C 2t2 a t yc ( t ) (C1 C 2 t )( ) 2 yc (t ) r t (C1 cos x C2 sin x)
而 y1 (t ) / y2 (t ) (1 / 2 ) C , 故它们线性无关,
t
因此(2)的通解为
yc ( t ) C C 2
t 1 1
t 2
5
a t 直接验证可知 y2 ( t ) t ( ) 也是方程(2)的一个特解, 2 且 y1 (t ), y2 (t ) 线性无关,
2
练习：
P384 习题十
17
故原方程通解为
yt (C1 C2t )2 7 t .
t
14
例6 求差分方程 yt 2 yt 1 2 yt 12 的通解.
解 特征方程为 2 2 0 特征根为 1 1, 2 2 所以对应齐次方程的通解为 yc (t ) C1 C2 (2)t
第三节
标准形式
二阶常系数线性差分方程
(1)
yt 2 ayt 1 byt f (t )
其中 t 0, 1, 2, ，常数b 0 ， 函数 f (t ) 当 t 0, 1, 2,
时有定义.
如果当 t 0, 1, 2, 时有 f ( t ) 0 ，则称方程
t 因为 f ( t ) 12 1 ,
q 1 是单特征根, 则设形式特解为
yt A t , 代入原差分方程得
A(t 2) A(t 1) 2 At 12, A 4 ,
yt C1 C2 (2)t 4t . 故原方程通解为
15
1 t 例7 求差分方程 4 yt 2 4 yt 1 yt 5 ( ) 的通解. 2 解 特征方程为 42 4 1 0
1,2 i
可以证明, y1 (t ) r cos t , y2 (t ) r sin t ,
t t
是(2)的解，且线性无关， 所以方程(2)的通解为
yc ( t ) r (C1 cos x C 2 a 2 ). 其中 r b , arctan( a
12
例4
解
求差分方程 yt 2 5 yt 1 6 yt 10 的通解.
已求出对应齐次方程的通解为
yc (t ) C1 2t C2 3t
因为 f (t ) 10 1 , q 1 不是特征根, 则设形式特解为
t
yt A , 代入原差分方程得 A 5 ,
故原方程通解为 yt C1 2t C2 3t 5 .
yt 2 ayt 1 byt 0
(2)
设 yt 是方程(1)的一个特解,
yc (t ) 是(2)的通解,
那么方程(1)的通解为
y t yc ( t ) y t .
问题归结为求方程(1)的一个特解. 用待定系数法求解.
11
在此只介绍 f (t ) Pm (t ) q 时特解的求法.即差分方程为
1 t2 1 t 5 2 1 t 1 2 1 t 4 A( t 2) ( ) 4 A( t 1) ( ) At ( ) 5( ) , A , 2 2 2 2 2 1 t 5 2 1 t 故原方程通解为 yt (C1 C 2 t ) ( ) t ( ) . 16 2 2 2
a 实根 r1 r2 2 复根 r1, 2 i
4b a r b , arctan arctan( ). a
2 2 2
8
例1 求差分方程 yt 2 5 yt 1 6 yt 0 的通解.
解 特征方程为 2 5 6 0 特征根为 1 2, 2 3 故所求通解为 yc (t ) C1 2t C2 3t 例2 求差分方程 yt 2 4 yt 1 4 yt 0 的通解. 解
yt 2 ayt 1 byt 0
为二阶常系数齐次线性差分方程，
(2)
否则，称为二阶常系数非齐次线性差分方程. (2)称为(1)对应的齐次线性差分方程.
1
二阶常系数齐次差分线性方程解的性质
yt 2 ayt 1 byt 0
(2)
1.方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；
1 特征根为 1 2 2 1 t 所以对应齐次方程的通解为 yc ( t ) (C1 C 2 t ) ( ) 2 1 t 1 因为 f ( t ) 5 ( ) , q 是特征重根,则设形式特解为 2 2 2 1 t yt A t ( ) , 代入原差分方程得 2
yc (t ) r t (C1 cos x C2 sin x)
4b a 2 r 2 2 b , arctan arctan( ). a
10
二、二阶常系数非齐次线性差分方程的解法
yt 2 ayt 1 byt f (t )
对应齐次方程 (1)
2.方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
定理1 如果 y1 (t ), y2 (t ) 是方程(2)的两个解,则
yt C1 y1 (t ) C 2 y2 (t )
也是(2)的解.
y1 ( t ) 如果 常 数(称线性无关), 则上式为(2)的通解. y2 ( t )
2
二阶常系数非齐次线性差分方程解的性质及求解法
t
yt 2 ayt 1 byt Pm (t ) q t
其中 Pm (t ) 是 m 次多项式, q 为非零常数.
设特解的形式为 yt t k Qm (t )qt ,
其中 Qm (t ) 是与 Pm (t ) 同次的多项式,其系数待定，
0, k 1, 2，
q不 是 特 征 根 ， q是 特 征 单 根 ， q是 特 征 重 根 .