第八章 期权定价的数值方法
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主要内容

二叉树期权定价yright© Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
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续

为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段， 每段一个月（等于0.0833年）。可以算出：
u e d e
Dt
1.1224 0.8909

SerDt pSu (1 p)Sd
erDt pu (1 p)d
同样可以推得：
f e r Dt pf u 1 p f d
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Dt
e r Dt d p 0.5076 ud 1 p 0.4924
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美式看跌期权二叉树
70.70 0 62.99 56.12 50 A 4.48 2.15 44.55 6.95 0.63 50 3.76 39.69 B 10.35 D 56.12 1.30 C 44.55 6.37 35.36 14.64 79.35 0 62.99 0 50 2.66 39.69 10.31 31.51 18.50 E 89.07 0 70.70 0 56.12 0 44.55 5.45 35.36 G 14.64 28.07 21.93
e
rDt
d p ud
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风险中性定价法
在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。 在风险中性的条件下, 参数值满足条件：

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举例说明


假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价 为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年 利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协 议价格为50元，求该期权的价值。 利用倒退定价法，可以推算出初始结点处的期 权价值为4.48元。
证券价格的树型结构
Su4 Su3 Su2 Su S Sd Sd2 Sd3 Sd4 S S Sd Sd2 Su Su2
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倒推定价法

得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉 树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末 端T时刻开始往回倒推，为期权定价 值得注意的是，如果是美式期权，就要在树型 结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行 期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行 期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值 。
二叉树模型的基本方法
Su p S 1-p Sd
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无套利定价法

构造投资组合包括 D份股票多头和1份看涨期 权空头
SuD – ƒu SdD – ƒd

当SuD – ƒu = Sd D – ƒd ，则组合为无风险组
F
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二叉树方法的一般定价过程

以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权 有效期划分成N个长度为 Dt 的小区间，令
f ij (0 i N ,0 j i) 表示在时间 iDt 时第j个结 点处的美式看跌期权的价值，同时用 Su j d i j 表示结点 (i, j ) 处的证券价格，可得：
合
ƒu f d D Su Sd
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无套利定价法（续）




组合在 T 时刻价值为 Su D – ƒu 组合现值应为： (Su D – ƒu )e–rT 组合现值的另外一个表达式为：S D – f 因此：ƒ = S D – (Su D – ƒu )e–rT
支付连续红利率资产的期权定价

当标的资产支付连续收益率为 q 的红利时，在 风险中性条件下，证券价格的增长率应该为rq，因此：
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无套利定价法（续）
将
fu f d D Su Sd
代入上式，可以得到：
f e
其中：
r Dt
pf u 1 p f d
f N，j max( X Su j d N j ,0)

Dt 后 ，假定期权不被提前执行，则在风险中
性条件下：
fij e
rDt
[ pfi1, j 1 (1 p) fi1, j ]
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