2 !
3 !
4 !
（1-14）
f(x x ) f(x ) f(x ) f(x ) x f(x )( x ) 2 fI( V x )( x ) 3 O ( x ( ) 4 )
x
2 !
3 !
4 !
f(x ) O ( x )
（1-15）
6
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（5/8）
函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。
一阶向前差商为 一阶向后差商为
yf(xx)f(x)
x
x
yf(x)f(xx)
x
x
（1-7） （1-8）
7
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（6/8）
一阶中心差商为
yf(x12x)f(x12x)
x
x
或
yf(xx)f(xx)
x
2x
（1-9） （1-10）
8
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（7/8）
二阶差商多取中心式，即
2y f(xx)2f(x)f(xx)

x2
(x)2
当然，在某些情况下也可取向前或向后的二阶差商。
（1-11）
9
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（8/8）
13
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（4/9）
将 f(xx) 与 f(xx)的Taylor展开式相加可得
f( x x ) 2 f( x ) f( x x ) f( x ) O ( x ( ) 2 ) x 2
（1-18）
这说明二阶中心差商的精度也为二阶
14
当J1=0时，称为向前差分； 当J2=0时，称为向后差分；
当J1=J2且| cj || cj |时，称为中心差分。
（1-19） （1-20）
15
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（6/9）
函数的n阶差分与自变量的n阶差分之比为n阶差商，可用Taylor展开分析其逼近误差 O(xm) 。显然， m0的差商及其对应的差分是不恰当的。当且aj为表2-1至表2-6中所 列的数值时，可得m>0。
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（5/9）
设有函数f(x)，自变量x的增量为 x，若取
x x i j x , j 0 , 1 , 2 ,
对应的函数值为 f(xi jx) ，则f(x)在xi处的n阶差分可表达为 J2
nf(xi) cj f(xi jx) jJ1 式中cj为给定系数，J1和J2是两个正整数。
dx x 0 x x 0
x
（1-1）
dy dx 是函数对自变量的导数，又称微商；
y 、x
分别称为函数及自变量的差分， y 为函数对自变量的差商。 x
பைடு நூலகம்
3
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（2/8）
向前差分 yf(x x )f(x )
向后差分 yf(x )f(x x )
以上是一元函数的差分与差商。多元函数f(x,y,…)的差分与差商也可以类推。
如一阶向前差商为
ff(x x,y, )f(x,y, ),
x
x
（1-12）
f f(x,yy, )f(x,y, ),
y
y

（1-13）
10
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（1/9）
中心差分
yf(x1 x)f(x1 x)
2
2
x 〉0
（1-2） （1-3） （1-4）
4
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（3/8）
上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。对一阶差分再作一 阶差分，所得到的称为二阶差分，记为 2 y 。 以向前差分为例，有
2y(y) [f (xx) f (x)] f (xx)f (x) [f (x2x) f (xx)][f (xx) f (x)] f(x2x)2f(xx) f(x)
（1-5）
5
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（4/8）
依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。
例如n 阶前差分为
n y (n1y) [(n2 y)] {[(y)]} {[( f (x x) f (x)]}
（1-6）
（1-16）
一阶向后差商也具有一阶精度。
12
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（3/9）
将 f(xx) 与 f(xx) 的Taylor展开式相减可得
f(x x ) f(x x )f(x ) O ( ( x )2 ) 2 x
可见一阶中心差商具有二阶精度。
（1-17）
cj
n!a j
J2
aj jn
j J1
（1-21）
16
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（7/9）
表1 n0 1 -1
材料计算机数值模拟讲义
有限差分法
1
主要内容 1、差分原理及逼近误差 2、差分方程，截断误差和相容性 3、收敛性与稳定性 4、Lax等价定理
2
第一节 差分原理及逼近误差/差分原理（1/8）
1．差分原理
设有x的解析函数y=f(x)，从微分学知道函数y对x的导数为
d yli m ylim f(x x )f(x )
11
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）
f(x x )f(x ) xf(x ) ( x )2f(x ) ( x )3f(x ) ( x )4fIV (x ) O ( (x )5),
2 !
3 !
4 !
f(x )f(x x )f(x ) O ( x ) x
2．逼近误差
差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。 由函数的Taylor展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分（增量） 的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。
f ( x x ) f ( x ) x f ( x ) ( x ) 2 f ( x ) ( x ) 3 f ( x ) ( x ) 4 f I( x V ) O ( x ) ( 5 )