基于波叠加方法的半自由声场全息理论李卫兵 陈 剑 于飞 陈心昭合肥工业大学噪声振动工程研究所（230009）hf_lwb@摘要：在半自由声场中，实际全息测量声压为全息面上的直达声压和反射声压叠加；而常规声全息技术要求全息面声压只包含直达声压，这样就不能直接用常规全息方法来重建与预测半自由声场。

以波叠加方法为全息变换算法，在充分考虑反射声压的情况下，建立了基于波叠加方法的半自由声场全息重建与预测理论，解决了半自由声场全息重建与预测问题，拓宽了全息技术的应用范围。

数值仿真的结果充分证明了基于波叠加方法的半自由声场全息理论的正确性和可行性，以及常规全息技术在半自由声场重建与预测过程中的局限性。

关键词：近场声全息 半自由声场 波叠加方法1.引言上世纪80年代初，美国宾夕法尼亚大学学者E.Ｇ.Ｗilliams等提出了基于空间声场变换的近场声全息 [1-2]。

近场声全息是在紧靠被测声源物理表面的测量面上记录全息数据，然后通过变换技术重建三维空间声压场、振速场、声强矢量场，并能预报远场指向性。

由于是近场测量，所以除了记录了传播波成分外，还能记录随传播距离按指数规律衰减的倏逝波成分，由于倏逝波含有振动体细节信息，所以理论上可获得不受波长限制的高分辨率图像，测量覆盖了从源出来的一个大的方位角，有指向性的源也能够被不失信息地检测出来[1-8]。

声全息是一种有效而快捷的噪声源辨识技术，只需要测量面上的复声压数据，就可以在很宽的频带范围内对声源特性进行研究。

它对大型复杂结构的振动和噪声辐射特性研究、噪声源的识别与定位以及结构强度评价都是一种极为有效的方法，有助于对结构振动、噪声进行有效控制，在工程上具有很高的应用价值和应用前景。

由于常规声全息技术只适用于自由声场，所以全息测量面上存在反射声的问题严重限制了全息技术的应用。

在文献[9]所提到的三个亟待解决的问题中就包括了全息面测量声压中包含反射声压的问题。

针对这个问题，国内外许多研究者在实验中都采取一些措施来削弱反射声的影响，比如在全消声室中进行测量[1,3,4]，或者通过挡板将地面反射声与直达声隔开[5]，或将声源放置在离地面很高的地方进行测量[6]。

虽然这些方法对声源定位有一定作用，但是并不能准确地预测整个声场的辐射特性，给声源特性判别带来不便，不利于进行噪声源的控制。

在声辐射问题中, 为了寻求边界元方法的有效替代方法, Koopmann等提出了更容易理解和实施的波叠加方法来计算声辐射问题[10-11]. 波叠加方法的基本思想是：任何物体辐射的声场都可以由置于该辐射体内部的，若干个不同大小源强的简单源产生的声波场叠加得到。

本文以波叠加方法作为全息变换算法，在充分考虑反射声压的基础上，建立了反射面为刚性和- 1 -非刚性条件下的半自由声场全息重建与预测模型，解决了半自由声场环境下的全息重建与预测问题，拓宽了全息技术的应用范围。

数值仿真的结果验证了该半自由声场全息理论的正确性、有效性和可行性，以及常规全息技术在半自由声场全息重建与预测过程中的局限性。

1. 波叠加积分方程在理想流体媒质微小扰动形成的时谐声场中, 去除时间的相关性后, 声场中任意一点t e ωi −r 上的复声压必满足Helmholtz 方程：)(r p 0)()(22=+∇r r p k p （1）式中 为点)(r p r 上的复声压；k =ω/c=λ/π2为声波数，c 为声速，λ为声波长，ω为角频率。

在如图1所示的声辐射外问题中，S 是声辐射体的闭合表面，其外部区域记为E ，内部区域记为D 。

域E 中点r 上的声压，可以通过解方程（1）得到S SS g u ck g p p C S S S S S E r r r r r n r r r r r d )],()(i ),()([)()(∫−∂∂=ρ （2） 式中，||,)π4/1(),(i S kr S r e r g r r r r −== （3）当点r 分别在D , S , E 上时, 系数分别为0, 0.5, 1；为边界表面点上的法向振速，为点处的外法线矢量。

)(r E C )(S u r S r S r n S r图.1 辐射体与声场各个域之间的位置关系图 n在图1所示的内声辐射问题中, 边界面仍为S , 假设在域D 内有一个连续分布的声源体, 此时应用质量守恒定律, 可以得到一个修正的Helmholtz 方程,Ω （4）)(i )()(22r r r o ckq p k p ρ=+∇式中,⎩⎨⎧∈∉∈=DΩΩq q o r r r r r I ,0),()( （5） 于是可以得到方程（4）的解, 即域D 中点r 上的复声压为S SS g u ck g p p C S S S S S I r r r r r n r r r r r d )],()(i ),()([)()(∫+∂∂−=ρ （6） Ωg ckq o o Ωd ),()(i r r r ∫+ρ- 2 -式中, 当点r 分别在D 、 S 、 E 上时, 系数分别取值为1、0.5、0。

)(r I C 由于上述的两种辐射问题对应相同的边界表面S , 所以在边界面上的声压和法向振速必是唯一的。

无论点r 是从域E 或D 逼近S , 该点的声压变化总是连续的, 因此当点r 取在S 上时,可以联合式（2）和（6）得到边界面S 上点r 处的复声压为Ωg ckq p o Ωo d ),()(i )(r r r r ∫=ρ （7） 此式即为波叠加积分公式。

与此相应的微分形式为Ωg q o Ωo d ),()()(r r r r u ∇=∫ （8） 式中 “∇”为梯度运算符。

且式（7）和（8）中的点r 并不仅限于真实的辐射体表面， 因为若将域E 中若干点联系在一起可以作为一个虚拟的表面，对于这些点上的声压和振速，式（7）和（8）仍然是成立的。

2. 基于波叠加方法的自由声场全息理论模型由公式（7）和（8）可以得知：对于声辐射体表面上或空间中任意一点的声压和振速可以由放置在辐射体内部的连续分布声源体产生的声波场得到。

但是采用连续分布声源的方法在计算机上无法实现，所以实际采用的是在辐射体内部放置若干个简单等效源来替代的办法，即空间中点r 上的声压和振速分别可以表示为),()(i )(1on Nn on g ckq p r r r r ∑==ρ (9)),()()(1on N n on g q r r r r u ∇=∑= (10)式中 为简单源的总个数，为简单源号，其位置坐标为，源强为。

N n on r )(on q r 同理，声源表面节点处的声压和法向振速也可表示为S r ),()(i )(1on S Nn on S g ckq p r r r r ∑==ρ (11)Son S N n on S g q u r n r r r r ∂∂=∑=),()()(1 (12) 若表面上有S M (M ≥)个边界结点，则分别有N M 个与式（11）和（12）相同的等式，将它们表示为矩阵的形式为DQ P =S (13)EQ U = (14)式中 []T 21)()()(SM S S S p p p r r r P L =为声源表面声压列向量；为声源表面边界结点处的法向振速列向量；为等效源序列的源强列向量；[T 21)()()(SM S S u u u r r r U L =]][T 21)()()(oN o o q q q r r r Q L =D 、E 分别为等效源序列与声源表面之间的声压与法向振速匹配矩阵，且),(i on Sm n m ckg r r D ρ=× (15)- 3 -Sm on Sm n m g r n r r E ∂∂=×/),( (16)设全息面上有M 个测量点，则同样有Hm r HQ P =H (17)式中 为全息面声压列向量，H P H 为等效源序列与全息面之间的声压匹配矩阵，且),(i on Hm n m ckg r r H ρ=× (18)全息重建是通过测量全息面上的声压数据来重建声源表面及预测声场中任意点处的声学量。

则基于波叠加方法的自由声场全息重建与预测方法就是：由式（17）求出等效源序列的源强列向量，将其代入式（13）、（14）中即可重建出声源表面上的声压与法向振速U ，实现声场的全息重建；将其代入式（9）、（10）中即可预测声场中任意场点处的声压与振速矢量，实现声场的全息预测。

Q S S P )(p r )(r u 3. 基于波叠加方法的半自由声场全息理论模型根据式（17）可知，通过测量全息面上的声压可以计算出等效简单源序列的源强列向量。

其中声压为声源辐射到全息面上的直达声压。

实际的全息测量经常在半消声室或空旷的环境等存在一个反射面的半自由声场（如图2所示）环境中进行，全息面测量声压中包含了经反射面反射后的反射声压，由于声压是标量，很难将直达声和反射声分离开来，因而无法运常规的声全息技术进行半自由声场的重建与预测。

下面同时考虑直达声和反射声来建立一种适用于半自由声场的全息理论。

图2 声像原理根据声像原理[12]知：半自由声场中任意点r 的声压均可看成辐射声源和其关于反射面的声像——虚声源所辐射声压的叠加。

即有 )(r p S 'S )()()(r d r r r p p p += (19)其中 为声源辐射的声压，也就是直达声压；为虚声源所辐射的声压，也就是反射声压。

)(d r p S )(r r p 'S 则对位于半自由声场中的全息面上M 个测量点（1≤m ≤Hm r M ），有r d H H H P P P += (20)其中 为全息面声压列向量；为全息面直达声压列向量；为全息面反射声压列向量。

H P d H P r H P 下面分别讨论刚性和非刚性反射平面情况下的半自由声场全息重建与预测问题。

无论是 - 4 -刚性还是非刚性反射平面，由于虚源都是实源关于反射面的镜像，则实源与虚源内部的等效简单源也是关于反射平面成镜像关系的，即实源与虚源具有相同的源强列向量。

5.2 刚性反射平面如果半自由声场中反射平面为刚性平面，则入射声波被完全反射，则由式（17）知，全息面上的辐射声压可以由实源与虚源的源强列向量表示为：Q H H P )(r d +=H (21)式中 、分别为实源、虚源与全息面之间的声压匹配矩阵。

式（21）与式（17）具有相同的形式，且式（21）中，、的维数均为d H r H d H r H N M ×。

令，则式（21）可以表示为d r c H H H +=Q H P c =H (22)且的维数也是。

则根据奇异值分解原理，只要满足c H N M ×M ≥，就可以通过对进行奇异值分解来唯一确定等效简单源的源强列向量，且等效简单源的源强列向量可以表示为N c H ()H H P H H H P H Q H c 1cH c c −==H P U W ΛH 1−= (23)式中 (24)H c W V U H =式中 ),...,,diag(21N λλλ=Λ为对角矩阵，1λ≥2λ≥...≥N λ≥为矩阵的奇异值；U ，列矢量相互正交的酉矩阵；上标“0c H W +”和“”分别为广义逆和海尔密特算子。