五、两个不同频率（但频率接近）的单色光波的叠加 5.1 光学拍； 5.2 群速度和相速度
第五节 光波的叠加, Superposition of waves
条件，适用条件： 两个（或多个）光波在空间相遇时。发生光波的叠 加现象。一般说，频率、波长、振幅和位相都不相 同的光波的叠加，情况是很复杂的。 本课程讨论的是：只限于频率相同或者频率相差很 小的单色光波的叠加。这种情况下，可以用数学表 达式描述其叠加结果。 单色光波包括有：单色平面波，单色球面波，单色 柱面波。
第十一章 光的电磁理论基础 第五节 光波的叠加, Superposition of waves
5.1 波的叠加原理
5.2 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的 叠加
5.3 驻波 5.4 两个频率相同、振动方向垂直的单色光波的 叠加
5.5 两个不同频率的单色光波的叠加
第五节 光波的叠加, Superposition of waves
五、两个不同频率的单色光波叠加——光学拍，P.330 合成波的强度变化
合成的光波： E＝E1＋E2＝2a cos(km z mt ) cos(kz t )
令 则有： A 2a cos(km z mt ) E＝A cos(k z t ) 2a 2 [1 cos 2( km z mt )]

Ex
2a 1
tg 2
2a1a2
2 a1 2 a2
cos
2 1
不同φ 值的偏 振.
四、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波的叠加
2 2 Ey Ex Ex E y 2 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 a1 a2 a1 a2
E1＝a1 e xp[ i(1 t )] E2＝a2 e xp[ i( 2 t )]
得到的合振动： E＝A exp[i ( t )] Aei ( t ) 式中：A
2 2 ＝a1 2 a2
2a1a 2 cos(1 2 )
说明！结论一样！ 总结：p.325
2 2
a1 a2 a A2 4a 2 cos2

2
当＝ 2m时，有cos 1 I＝I MAX 4 I 0 2 1 当＝ (m )2，有cos 0 I＝I MIN 0 2 2 （m 0， 1， 2， )

合成光强的大小取决于 位相差 ＝1－ 2
z 令k z t 常数，得到 v t k
z或 t
2 在时间域上： 2 ：在空间域上 k
Hale Waihona Puke 2 在时间域上，位相变化 2所需的时间 : T 。 2 在空间域上，位相变化 2所走的距离 : 。 k
5.2 相速度和群速度
群速度(Group velocity)：等振幅面传播的速度
a1 sin 1 a 2 sin 2 tg a1 cos1 a 2 cos 2
三、驻波(Standing Wave)
在波的传播路径上，对于介质不同点有不同振幅 两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的 单色光波的叠加将形成驻波。垂直入射的光波和 它的反射光波之间将形成驻波。
什么是拍现象？
合成波的强度随时间和位置而变化的现 象称为“拍”。其频率称拍频 （Beat
frequency）。
由两个频率接近、振幅相同、振动方 向相同且在同一方向传播的光形成的 光学拍。
五、两个不同频率的单色光波叠加——光学拍，P.330
由两个频率接近、振幅相同、振动方向相同且在 同一方向传播的光形成的光学拍。
相反 波
E＝E1 ＋E2＝a cos(kz t ) ＋a cos(kz t ) 式中：是反射时的位相差
入射波
反射波
三、驻波(Standing Wave)
叠加结果：E＝E1＋E2＝2a cos(kz＋ ) cos(t－ ) 2 2
波腹的位置：kz

2
m
A 2a A0
听写说明：1？？ 2？？
合振动公式的意义
E( p) E1( p) E2 ( p) ..... En ( p) En ( P)
n
3. 同时，光的叠加原理也是介质介质对光波电磁 场作用的线性响应的一种反应。实质是波动微分
方程的必然结果。波动方程的线性性质，保证了
其解的叠加性。即解的叠加性构成了波的叠加原 理的基础。 注意：两个或者多个满足波动方程的光波同时存 在时，总的波场是这些光波的直接叠加。
椭圆形状分析：(
Ey Ey Ex Ex
a2
a1
Ey
, 2 1 )
Ey
Ex Ex
δ =0 Ey
0<δ <π /2 Ey
δ =π /2 Ey
π /2<δ <π Ey
不同φ 值的偏 振.
Ex
Ex
Ex
Ex
δ =π
π <δ <3π /2
δ =3π /2
3π /2<δ <2π
五、两个不同频率的单色光波叠加——光学拍，P.330
合振动公式的意义
E( p) E1( p) E2 ( p) ..... En ( p) En ( P)
n
4. 波动方程的线性性质，限制了叠加原理只在
入射光强较弱的情况下成立。当光波强度 很大
（1012 V/m 的激光）时，介质将产生非线性效
应，介质对光的响应也是非线性的，线性叠加 原理也不再适用。
1 波节的位置：kz (m－ ) 2 2
入射波
在波的传播路径上， 对于介质不同点有不 同振幅。
反射波
若入射波和反射波振幅不等，则合成波=驻波+行波
四、两个频率相同、振动方向垂直的单色光波的叠加
条件：频率相同，振动方向相互垂直的单色光波，其振动 方向分别平行x轴和y周，并沿z轴方向传播。考察在z轴方 向上任一点P处的叠加。 Ex＝a1 cos(kr1 t )，E y＝a2 cos(kr2 t )
n
11-119
合振动公式的意义
E( p) E1( p) E2 ( p) ..... En ( p) En ( P)
n
1. 波的叠加原理表明了光波传播的独立性。一个 光波的传播方向不会因为其他光波的存在而受到 影响。 2. 两个光波在相遇后又分开，每个光波仍保持原 有的特点（频率、波长、振动方向等），按照原 理的传播方向继续前进。
合成的 光波
两个不同频率的光： E1＝a cos(k1 z 1t )和E2 a cos(k2 z 2t )
E＝E1＋E2＝2a cos(km z mt )cos(kz t )
式中： 1 2 ， 2 1 2 m 2 k1 k 2 k 2 k1 k 2 km 2
二、两个频率相同、振动方向相同的单色光 波的叠加 2.1 三角函数的叠加
E1＝a1 cos(kr1 t ) E2＝a2 cos(kr2 t )
令：kr1＝1，kr2＝ 2
S1
S2
推导！
E＝E1＋E2＝a1 cos(1 t )＋a2 cos( 2 t )
得到的合振动： E＝A cos( t )
A m
合成的光强： I A2 4a 2 cos2 ( km z mt )
五、两个不同频率的单色光波叠加——光学拍，P.330
E＝E1＋E2＝2a cos(km z mt )cos(kz t )
合成的光强： I A2 4a 2 cos2 ( km z mt ) 2a 2 [1 cos 2( km z mt )]
a) 两个单 色波 b) 合成波 c) 合成波 的振幅 变化 d) 合成波 的强度 变化
五、两个不同频率的单色光波叠加—拍频的应用
I 2a [1 cos2(km z mt )]
2
拍频为 2m 1 2
拍频的应用：利用已知的一个光频率1，测量另 一个未知的光频率2。
五、两个不同频率的单色光波叠加——光学拍，P.330
思考提：
光学拍，条件之一是要频率接近。则，如果频率相差 大，会有什么现象以及会有什么用途？-查阅清华大 学精仪系张书连教授的研究。
5.2 相速度和群速度
1）相速度（Phase velocity） ：等位相面传播的速度 合成的光波： E 2a cos( k m z mt )cos( k z t )
合成的光波： E 2a cos(km z mt ) cos(k z t ) m 1 2 令km z mt 常数，得：vg km k1 k2 k
z或 t
2 ：在空间域上 km
2 在时间域上： m
在真空中传播时，波速相同，相速度和群速度相等。 在色散介质中传播时，不同频率的光波传播速度不同，合成 波形在传播过程中会不断地变化，相速度和群速度便不同了。
一、波的叠加原理 1、波的叠加现象 2、波的叠加原理 波的叠加原理：两个（或多个）波在相遇点产生 的合振动是各个波单独在该点产生的振动的矢量 和。波的叠加服从叠加原理，光波也同样。叠加 原理是波动光学的基本原理。 合振动公式 E( p) E1( p) E2 ( p) ..... En ( p) En ( P)
一、波的叠加原理 1.1 说明即条件，适用性；1.2 线性叠加性，叠加原理
二、两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加 2.1 代数加法 ； 2.2 复数方法； 2.3 相幅矢量加法 三、驻波 驻波的形成与特点 四、两个频率相同、振动方向相互垂直的单色光波的叠加 4.1 合成光波偏振态的分析； 4.2 椭圆偏振参量间的关系
书本， P.338 第 23 题 & 第30 题