波的叠加 孤子
问题的提出：[实验]在一根水平长绳的两端分别向上抖动一下，就分别有两个突起状态1和2在绳上传播。

我们看到，两列波相遇后，彼此穿过，继续传播，波形状和传播的情形都跟相遇前一样，也就是说，相遇后，它们都保持各自的运动状态，彼此都没有受到影响。

仔细观测两列相遇的水波，也可以看到两列水波相遇后，彼此穿过，仍然保持各自的运动状态继续传播，就像没有跟另一列水波相遇一样。

（见：全日制普通高级中学教科书（必修加选修） 物理 第二册 人民教育出版社
第十章 机械波 第五节 波的干涉 第55页）
相关知识：几列波同时在媒质中传播，不管它们是否相遇，都各自以原有的振幅、波长和频率独立传播，彼此互不影响。

例如，房间里人们在交谈，同时播放音乐，但决不会因此改变说话人的声音；同样，欣赏音乐的人也不会由于旁边有人说话而使音乐旋律发生变化。

两列波互相独立的传播，在两波相遇处体元的位移等于各列波单独传播是在该处引起的位移的矢量和，叫做波的叠加原理。

这一原理最初是从实验和观察总结出来的。

下面从理论上解释叠加原理。

以横波为例。

横波的波动方程2222x y N t
y ∂∂=∂∂ρ，其中，N 表示媒质的剪切模量，ρ表示媒质密度。

注意，该方程为线性方程。

线性方程有一个特点，即若1y 和2y 分别是它的解，则21y y +也是方程的解。

这一点容易看出：将波动方程写作2
2222x y a t y ∂∂=∂∂，因1y 和2y 为其解，有恒等式 2122212x y a t y ∂∂=∂∂，2222222x
y a t y ∂∂=∂∂ 显然，进一步由恒等式
即21y y +同样是方程的解。

而21y y +即两波的叠加。

可见波的叠加原理和波动方程的线性有密切关系。

有关弹性波的波动方程是根据牛顿第二定律和关于物体弹性的胡克定律推导出来的。

形变很小时，胡克定律指出应变为应力的线性函数，这时质点动力学方程为一线性方程。

如媒介中振幅很大，以至形变和应力之间不再有线性关系，则将得非线性波动方程，叠加原理就不再正确。

221222212)()(x y y a t y y ∂+∂=∂+∂
那么，对于非线性波动呢？
非线性波动有两大类，一种是大家常谈到的孤立波（Solitary wave ），又称孤粒子（也称为孤子），另一种是耗散系统的波，这类波的波形多种多样，研究方法与前者颇不同。

这里我们关心的是前者。

今年来，在数学物理问题中以KdV （Korteweg de Vries ）方程为中心所展开的关于所谓孤粒子（solitary ）的研究，显得十分活跃。

什么叫孤粒子呢？虽然在许多物理学的分支中，已广泛使用了这个术语，但数学上还没有一个统一的定义。

这里就以KdV 方程为例，给一个尽可能完善的描述。

为此首先定义孤立波。

KdV 方程
0=++xxx x i u uu u （1）
的形如
)()(),(ξϕϕ=-=vt x t x u （2）
的特解称为行进波，其中v 为常数，称为行进速度。

一个局部性的行进波)(),(ξϕ=t x u 就叫孤立波。

即当±∞→ξ时，)(ξϕ及其一、二阶导数都趋于零。

把（2）式代入（1）式进行三次积分，不难取定函数)(ξϕ。

于是（2）式便可具体写为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=)(2sec 3),(2vt x v h v t x u （3）
上式就称为KdV 方程（1）的孤立波。

从（3）式可以看出，孤立波的波幅与它的行进速度成正比，而波的“宽度”（局部性程度）与行进速度的平方根成反比。

这是KdV 方程的孤立波的一个基本性质。

如果一个个立波与其他孤立波发生碰撞（相遇）之后，仍保持碰撞前的形状和速度而离开，并继续前进（碰撞不变性），则称这种孤立波为孤立子。

上述KdV 方程（1）的孤立波（3）就是一个孤立子。

罗素（J.Scott--Russell ）1844年在“关于波的报道”中谈及它在狭窄的爱丁堡—格拉斯哥运河（Edinburgh —Glasgow canal ）于1834年观察到有两匹马拉着一条船迅速前进。

当船突然停下时，在船前面被船推动的水团形成一个光滑孤立的波峰，在河道中行进。

最后高度逐渐减小而消失。

罗素还在约30cm 宽6m 长的水槽中做过有关水槽中孤立子的研究。

直到1895年，荷兰的科尔泰沃赫（D.J.Korteweg ）和德弗希斯（G.de.Vries ）才提出该水波的动力学方程，即KdV （Korteweg de Vries ）方程：
)3132(/2333x
y x y y x y h g t y ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂σα， 式中g Th h ρσ/3/3
-=，T 和ρ分别表示表面张力和液体密度，α为一常数。

上面方程
的波形解为
[]
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-=t h gh x h t x y )2/1(/21sec ),(2αραα 而波速为 )2/1(h gh v α+=。

从此式可知，振幅越大，波速越高。

当KdV 方程被提出来之后，在很长时间内未引起人们的兴趣。

一方面是由于人们以为孤立波只不过是某种特殊的方程具有的特殊的街，是一种稀有现象。

另一方面也是由于非线性数学有待进一步发展以便对非线性方程作更深入的研究。

20世纪60年代以来，关于孤立子的研究有了巨大进展。

世界上不少物理学家和数学家，如李政道、Lax ，都对之很感兴趣。

孤立子普遍存在于粒子物理、等离子物理、超导理论、场论和非线性光学等许多学科中，许多方程有孤立解。

在分子生物学领域，DNA 螺旋结构的孤子提出一种描述结构转变的方法，它可能解决控制基因表达机制的途径。

孤子在技术上也得到应用，例如应用光导纤维传播光学孤子可用以非常迅速地传递信息等。