综合试题(一)数学时间：60分钟 总分：100分[对应学生用书p 323]一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．其中多项选择题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错或不选得0分．)1．已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A(1，2)，B(－1，3)，则z 1z 2的虚部为( )A ．1B ．－12iC ．iD ．－12[解析]由复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别是A(1，2)，B(－1，3)，得z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋3i ，则z 1z 2＝1＋2i －1＋3i ＝（1＋2i ）（－1－3i ）（－1＋3i ）（－1－3i ）＝5－5i 10＝1－i2. z 1z 2的虚部为－12，故选D . [答案]D2．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具)先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则m ＝2n 的概率为( )A .118B .112C .19D .16[解析]将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具)先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，基本事件总数有：6×6＝36种，事件“m ＝2n ”包含的基本事件有：(2，1)，(4，2)，(6，3)共3个，所以事件“m ＝2n ”的概率为P ＝336＝112.故选B .[答案]B3．已知函数f(x)＝sin (ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，若将函数f(x)的图象向左平移π6后得到偶函数g(x)的图象，则函数f(x)的一个单调递减区间为( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π12C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6 [解析]函数f(x)＝sin (ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤θ≤π2的图象相邻的两个对称中心之间的距离为π2，则T ＝π，所以ω＝2.将函数f(x)的图象向左平移π6后，得到g(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋θ是偶函数，故π3＋θ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得θ＝k π＋π6(k ∈Z )，由于－π2≤θ≤π2，所以当k ＝0时θ＝π6.则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )，当k ＝0时，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，由于⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π12⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，故选B.[答案]B4．已知拋物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点M 在第一象限的拋物线C 上，直线MF 的斜率为3，点M 在直线l 上的射影为A ，且△MAF 的面积为43，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．23D ．4[解析]由抛物线的定义知S △MAF ＝12MF ·MA sin 60°＝43，得MA ＝MF ＝4，所以△MAF 为等边三角形，MA ＝2p ＝4，p ＝2，故选B .[答案]B5．(多选)函数f(x)的定义域R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则 ( ) A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为周期函数 C ．f (x ＋3)为奇函数D ．f (x ＋4)为偶函数[解析]由题意知f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)， 所以f (－x )＝f [－(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1＋1) ＝－f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，所以f (x )是周期为2的周期函数，B 正确； 又f (－x )＝f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数，A 正确；又f (－x ＋3)＝f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)＝－f (x ＋3)， 所以f (－x ＋3)为奇函数，C 正确；f (－x ＋4)＝f (－x )＝－f (x )＝－f (x ＋4)．所以f (－x ＋4)也是奇函数，D 错误． [答案]ABC6．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln x ＋1x －m ≤m ＋e 对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1成立，则实数m 的取值范围是( ) A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞B .⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1D ．[1，＋∞)[解析]设t ＝ln x ＋1x ，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，则t ∈[1，e －1]；当m ≤e 2时，|t －m|max ＝e －1－m ≤m ＋e ，解得：m ≥－12；当m>e 2时，|t －m|max ＝m －1≤m ＋e ，恒成立；综上知：m ≥－12时，不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln x ＋1x －m ≤m ＋e 对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1成立．[答案]A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H.若AH →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝____________．[解析]由AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，知BH ＝AB cos 60°＝1，又BC ＝3，所以BH →＝13BC →，所以AH →＝AB →＋BH →＝AB →＋13BC →，所以λ＝1，μ＝13，λ＋μ＝43.[答案]438．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x －y －2≤0，y ＋1≤0，则目标函数z ＝2x －y 的最大值为________．[解析]画出不等式组表示的可行域(三角形)，由z ＝2x －y 得到y ＝2x －z ，平移直线y ＝2x －z ，由图形得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以点A 的坐标为(1，－1)，得z max ＝2×1－(－1)＝3. [答案]39．若函数f(x)称为“准奇函数”，则必存在常数a ，b ，使得对定义域的任意x 值，均有f(x)＋f(2a －x)＝2b.已知f(x)＝x x －1为“准奇函数”，则a ＋b ＝________．[解析]由f(x)＋f(2a －x)＝2b 知“准奇函数”f(x)关于点(a ，b)对称；因为f(x)＝xx －1关于(1，1)对称，所以a ＝1，b ＝1，a ＋b ＝2.[答案]210．已知等腰△ABC 的面积为4，AD 是底边BC 上的高，沿AD 将△ABC 折成一个直二面角，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积的最小值为______________．[解析]设AD ＝a ，BC ＝2b ，则ab ＝4；由已知，BD ⊥平面ADC ，将三棱锥补形为一个长方体，则三棱锥A －BCD 的外接球就是该长方体的外接球，且该长方体的长宽高分别为a 、b 、b ，则球的直径2R ＝a 2＋b 2＋b 2＝a 2＋2b 2，则球的表面积为S ＝4πR 2＝(a 2＋2b 2)π，因a 2＋2b 2≥22ab ＝82，故S min ＝82π.[答案]82π三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分) 如图，在梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，M 为AD 上一点，AM ＝2MD ＝2，∠BMC ＝60°.(1)若∠AMB ＝60°，求BC ；(2)设∠DCM ＝θ，若MB ＝4MC ，求tan θ.[解析] (1)由∠BMC ＝60°，∠AMB ＝60°，得∠CMD ＝60°. 在Rt △ABM 中，MB ＝2AM ＝4； 在Rt △CDM 中，MC ＝2MD ＝2.在△MBC 中，由余弦定理得，BC 2＝BM 2＋MC 2－2BM ·MC ·cos ∠BMC ＝12， 所以BC ＝2 3.(2)因为∠DCM ＝θ，所以∠ABM ＝60°－θ，0°＜θ＜60°. 在Rt △MCD 中，MC ＝1sin θ；在Rt △MAB 中，MB ＝2sin （60°－θ），由MB ＝4MC 得，2sin (60°－θ)＝sin θ，所以3cos θ－sin θ＝sin θ，即2sin θ＝3cos θ， 整理可得tan θ＝32.12．(16分)如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，且平面ABCD ⊥平面DCE.AF ∥DE ，且AF ＝12DE ＝2，BF ＝2 2.(1)求证：AC ⊥BE ；(2)若点F 到平面DCE 的距离为3，求直线EC 与平面BDE 所成角的正弦值．[解析] (1)∵AF ＝AB ＝2，BF ＝22， ∴AF 2＋AB 2＝BF 2，∴∠FAB ＝90°，即AF ⊥AB. ∵AF ∥DE ，AB ∥CD ， ∴DE ⊥DC.∵平面ABCD ⊥平面DCE ，DE ⊂平面DCE ，平面ABCD ∩平面DCE ＝DC ， ∴DE ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥AC. ① ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD. ②由①②，且DE ∩BD ＝D ， ∴AC ⊥平面BDE. ∴AC ⊥BE.(2)设AC ∩BD ＝O ，连接OE.由(1)AC ⊥平面BDE ，∴OE 是EC 在平面BDE 内的射影， ∴EC 与平面BDE 所成的角为∠CEO. ∵AF ∥DE ，AF ⊄平面DCE ，DE ⊂平面DCE ， ∴AF ∥平面DCE ，∴点F 到平面DCE 的距离等于点A 到平面DCE 的距离． 在平面ABCD 内作AH ⊥CD ，交CD 延长线于H. ∵平面ABCD ⊥平面DCE ， ∴AH ⊥平面DCE ，∴AH ＝ 3.(或转化为点B 到平面DCE 的距离) ∵AD ＝2，∴∠ADH ＝60°， ∴菱形ABCD 中，∠BDC ＝60°， ∴OC ＝32CD ＝ 3. 在Rt △DEC 中，EC ＝DC 2＋DE 2＝25， ∴sin ∠OEC ＝OC CE ＝325＝1510.∴EC 与平面BDE 所成角的正弦值为1510.13．(18分)已知函数f(x)＝e x＋m(1－x)＋n. (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)函数g(x)＝e x－12mx 2＋(m ＋n)x －1，且g(2)＝0.若g(x)在区间(0，2)内有零点，求实数m 的取值范围．[解析] (1)f ′(x)＝e x－m ，①当m ≤0时，f ′(x)>0成立，f(x)在R 上单调递增；②当m >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln m ，则f (x )在区间(－∞，ln m )单调递减，在(ln m ，＋∞)单调递增．(2)g ′(x )＝e x＋m (1－x )＋n ＝f (x )，设x 0是g (x )在区间(0，2)内的一个零点，因为g (0)＝0，g (x 0)＝g (0)，可知g (x )在区间(0，x 0)上不单调，故f (x )在区间(0，x 0)存在零点x 1；同理：由g (x 0)＝g (2)＝0，可知f (x )在区间(x 0，2)上存在零点x 2，即f (x )在区间(0，2)内至少有两个不同零点x 1和x 2.由(1)知m >0，ln m ∈(0，2)，得1<m <e 2，此时f (x )在区间(0，ln m )单调递减，在(ln m ，2)单调递增．由g (2)＝0，知n ＝1－e22，所以f (1)＝e ＋1－e22<0，则f (x )min ＝f (ln m )≤f (1)<0；故只需：⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （2）>0，解得：e 2－32<m <e 2＋12.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－32，e 2＋12.。