2019高二数学上册期末考试试卷及答案试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知命题p ：∀x ∈R ，sinx ≤1，则( C )A ．⌝p ：∃x ∈R ，sinx ≥1B ．⌝p ：∀x ∈R ，sinx ≥1C ．⌝p ：∃x ∈R ，sinx>1D ．⌝p ：∀x ∈R ，sinx>12．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和等于( B )．A ．160B ．180C ．200D ．2203．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°，则c 的值等于( C )．A ．5B ．13C ．13D ．374．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )A.73 B. 54 C. 43 D. 535．在△ABC 中，能使sinA ＞32成立的充分不必要条件是( C ) A ．A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3 B ．A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3 C ．A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D ．A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π66．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝Cctan ，那么△ABC 是( B )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形7. 如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点， F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( B )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶18．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线A B 1夹角的余弦值为( A )A.55 B. 53C. 255D. 359．当x ＞1时，不等式x ＋11-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D )． A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]10．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧4≤ 34 ≥30 ≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( A )．A ．73 B ．37 C ．43 D ．3411．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( A )A ．a ≤－4B ．a ≥－4C ．a ≥－12D ．a ≤－1212．定义域为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2(x －3)2，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围为 ( B )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，66解析 由于定义为R 的偶函数f (x )满足：对∀x ∈R ，有f (x ＋2)＝f (x )－f (1)，得f (－1＋2)＝f (－1)－f (1)＝0，即f (1)＝0，故f (x ＋2)＝f (x )，可知f (x )的周期T ＝2，图象以x ＝2为对称轴，作出f (x )的部分图象，如图，∵y ＝log a (x ＋1)的图象与f (x )的图象至少有三个交点，即有log a (2＋1)>f (2)＝－2且0<a <1，解得a ∈⎝⎛⎭⎪⎫，33。

第Ⅱ卷（选择题 共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置13．已知某抛物线的准线方程为y ＝1，则该抛物线的标准方程为________。

x 2＝－4y 14.若a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是______75__。

15．过椭圆221164x y +=内一点M(2,1)引一条弦，使弦被点M 平分，则这条弦所在直线 的斜率等于________ －1216．已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令 a n ＝1f n ＋1＋f n，n ∈N *。

记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 016＝________。

2 017－1三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.17．(12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C 。

(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积。

解 (1)由sin 2B ＝2sin A sin C 及正弦定理，得b 2＝2ac ，∵a ＝b ，∴a ＝2c 。

由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋14a 2－a 22a ×12a＝14。

(2)由(1)得b 2＝2ac 。

∵B ＝90°，a ＝2，∴a 2＋c 2＝2ac ，∴a ＝c ＝2，∴S △ABC ＝12ac＝1。

18．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0。

(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。

解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0，得：(x －3a )(x －a )＜0， 当a ＝1时，解得1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3。

由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0。

解得：2＜x ≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ≤3。

若p 且q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3。

(2)p 是q 的必要不充分条件，即q 推出p ，且p 推不出q ，设集合A ＝{x |p (x )}；集合B ＝{x |q (x )}，则集合B 是集合A 的真子集， 又B ＝(2,3]，当a ＞0时，A ＝(a,3a )；a ＜0时，A ＝(3a ，a )。

所以当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3＜3a ，解得1＜a ≤2，当a ＜0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意，19．(本小题满分12分)已知动圆经过点F (2,0)，并且与直线x ＝－2相切。

(1)求动圆圆心P 的轨迹M 的方程；(2)经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l 与轨迹M 相交于A ，B 两点，求|AB |。

解 (1)设动圆圆心P (x ，y )。

因为动圆经过点F (2,0)，并且与直线x ＝－2相切，所以点P 到定点F (2,0)的距离与到定直线x ＝－2的距离相等，故点P 的轨迹是一条抛物线，其焦点为F ，准线为x ＝－2，设轨迹方程为y 2＝2px (p ＞0)，则p2＝2，所以轨迹M 的方程为y 2＝8x 。

(2)轨迹M 的焦点(2,0)，直线l 的斜率k ＝tan 135°＝－1，于是其方程为y ＝－(x －2)。

由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2，y 2＝8x ，消去y 得x 2－12x ＋4＝0。

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12， 于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝12＋4＝16。

20．(12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 是直角三角形，且PA ＝AB ＝AC 。

又平面QBC 垂直于底面ABC 。

(1)求证：PA ∥平面QBC ；(2)若PQ ⊥平面QBC ，求锐二面角Q －PB －A 的余弦值。

解 (1)证明：过点Q 作QD ⊥BC 交BC 于点D ， 因为平面QBC ⊥平面ABC 。

所以QD ⊥平面ABC 。

又PA ⊥平面ABC ， 所以QD ∥PA 。

而QD ⊂平面QBC ，PA ⊄平面QBC ， 所以PA ∥平面QBC 。

(2)因为PQ ⊥平面QBC ， 所以∠PQB ＝∠PQC ＝90°。

又PB ＝PC ，PQ ＝PQ ， 所以△PQB ≌△PQC ， 所以BQ ＝CQ 。

所以点D 是BC 的中点，连接AD ，则AD ⊥BC ，因此AD ⊥平面QBC ，故四边形PADQ 是矩形。

分别以AC ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

设PA ＝2a ，则Q (a ，a,2a )，B (0,2a,0)，P (0,0,2a )。

设平面QPB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 因为PQ →＝(a ，a,0)，PB →＝(0,2a ，－2a )， 所以⎩⎨⎧ax ＋ay ＝0，2ay －2az ＝0，取n ＝(1，－1，－1)。

又平面PAB 的一个法向量为m ＝(1,0,0)， 设锐二面角Q －PB －A 的大小为θ，则cos θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝m ·n |m ||n |＝33，即锐二面角Q －PB －A 的余弦值等于33。

21．(本小题满分12分)若{}n a 的前n 项和为n S ，点),(n S n 均在函数y ＝x x 21232-的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;n a =3n-2 （Ⅱ）13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和， (1) 点),(n S n 均在函数y ＝x x 21232-的图像上,∴n S =n n 21232-,故=-1n S )1(21)1(232---n n )2(≥n ,…从而当2≥nn S -1-n S =3n-2,即n a =3n-2,又当n=1时,111==S a ,满足上式∴n a =3n-2(2) 13+=n n n a a b ,n a =3n-2, ∴)13)(23(3+-=n n b n =131231+--n n ∴++-+-+-=...101717141411n T 131231+--n n =.1331311+=+-n nn22．(本小题满分12分)已知椭圆x 2＋2y 2＝a 2(a ＞0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4。

(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在x 轴上的点M (m,0)，使得对任意的k ∈R ，MA →·MB →为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。