专题02 全等三角形专题详解专题02 全等三角形专题详解 (1)12.1 全等三角形 (2)知识框架 (2)一、基础知识点 (2)知识点1 全等形的概念及性质 (2)知识点2 全等形的定义和表示方法 (2)知识点3 全等三角形的性质与拓展 (2)知识点4 全等变换的保形性 (2)12.2三角形全等的判定 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 全等三角形判定条件 (3)二、典型题型 (4)题型1 全等三角形的判定 (4)三、添加辅助线方法 (5)方法1 关于中点的辅助线 (5)方法2 作垂线构造全等求点的坐标 (12)方法3 截长补短法（往往需证2次全等） (14)12.3角平分线的性质 (17)知识框架 (17)一、基础知识点 (17)知识点1 角平分线的性质 (17)知识点2 角平分线的判定 (17)知识点3 三角形的内心和旁心 (17)二、典型题型 (17)题型1 角平分线的性质和定义的应用 (17)题型2 三角形内心的应用 (18)三、添加辅助线方法 (20)方法1 角平分线上的点向两边作垂线 (20)方法2 过边上的点向两边作垂线 (22)方法3 过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形 (24)方法4 利用角平分线的性质，在角两边截长补短 (25)12.1 全等三角形知识框架一、基础知识点知识点1 全等形的概念及性质1）全等形：能够完全重合的两个图形2）全等形的性质：①形状相同；②大小相同注：①全等图形与其所在的位置无关（只要通过平移、旋转、翻折后能够使两个图形完成重合即可）。
对称图形要求更苛刻些。
②因两图形完全相等，故图形所有对应条件都相同（例：周长、面积、对应角角度等皆相等）知识点2 全等形的定义和表示方法1）全等三角形：能够完全重合的三角形（长得完全一样的三角形）2）表示方法：①△ABC≌△DEF（读作：三角形ABC全等于三角形DEF）②顶点需要一一对应（即长得一样的在描述中至于同等地位）③从书写中，我们根据一一对应的关系，可得：a.点A与点D为对应顶点，点B与点E为对应顶点，点C与点F为对应顶点；b.∠A与∠D为对应角，∠B与∠E为对应角，∠C与∠F为对应角；c.AB与DE为对应边，AC与DF为对应边，BC与EF为对应边。
3）找对应角对应边的方法①图形特征法②字母顺序确定法知识点3 全等三角形的性质与拓展1）全等三角形，即任何地方都完全相同的三角形a.对应边、对应角相等b.周长、面积相等c.对应边上的中线、角平分线、高相等知识点4 全等变换的保形性1）只改变图形的位置，不改变图形形状、大小，则变形后的图形与原来图形全等，叫作图形全等变换。
注：①平移、翻折、旋转都是全等变换②缩放不是全等变换12.2三角形全等的判定知识框架一、基础知识点知识点1 全等三角形判定条件1）三角形全等判定总结：①三角形全等证明，需要边、角组合3个条件②边、角组合（共6种）：a.SSS 可判定b.SAS 可判定c.SSA 需添加限定条件d.AAA 显然不能e.ASA 可判定f.AAS 可判定③SSAa.显然△ADB与△ACB不全等b．发现这两个三角形，一个为锐角，一个为钝角。
实际：SSA+定理证明）可证明全等（利用正弦直角同为钝角或同为锐角或⎪⎩⎪⎨⎧ 2）SSA 的特殊形式HL三角形全等判定五：斜边和直角边分别相等的两直角三角形全等（简写为HL ）二、典型题型题型1 全等三角形的判定方法：5种判定方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL （特殊形式的SSA ） 解题技巧：1）根据图形和已知条件，猜测可能的全等三角形； 2）寻找边角相等的3组条件。
3）往往有2个条件比较好找，第3个条件需要推理 寻找第3个条件思路： 原则1）需要证明的边或角需首先排除，不可作为第3个条件寻找2）寻找第3个条件，往往需要根据题干给出的信息为指导，确定是找角还是边 方法：例1.如图，已知D ，E 分别为AB ，AC 上两点，AD=AE ，BD=CE ，求证：∠B=∠C 。
【答案】∵AD=AE，BD=EC ∴AB=AC在△AEB与△ADC中∴△AEB≌△ADC∴∠B=∠C三、添加辅助线方法方法1 关于中点的辅助线一、已知中点（1）中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。
目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。
将分散的条件集中到一个三角形中去。
例1.如图，△ABC中，D为BC的中点（1）求证：AB+AC＞2AD；（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围。
【答案】（1）证明：如下图，延长AD至点E，使DE=AD，连BE∵点D是BC的中点∴BD=DC在△EBD与△ACD中∴△EBD≌△ACD∴AC=BE在△ABE中，AB+BE＞AE∵AB+BE=AB+AC，AE=AD+DE=2AD∴AB+AC＞2AD（2）在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB+BE∴AB－AC＜2AD＜AB+AC即2＜2AD＜8，化简得：1＜AD＜4例2.如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD。
【答案】证明：如下图，延长AD至点F，使AD=DF，连BF∵AD是△ABC的中线∴BD=DC在△BDF与△CDA中∴△BDF≌△CDA∴BF=AC，∠BFA=∠DAC∴∠BAF+∠BFA=∠BAF+∠DAC=∠BAC∵∠BAC=∠BCA∴∠BAF+∠BFA=∠BCA∵∠ABF+∠BFA+∠BAF=180°=∠ACE+∠ACB∴∠ABF=∠ACE在△ABF与△ECA中∴△ABF≌△ECA∴AE=AF=2AD（2）向中线作垂线：过线段两端点向终点处的线段作垂线。
目的：构造出一组全等三角形辅助线技巧：锐角三角形的垂线在中线线段上；钝角三角形的垂线在中线线段的延长线上。
例1.已知AC=BC，AC⊥BC，过C点任作直线l，过点A、B分别作l的垂线AD、BE，垂足分别为D，E。
若AD=2，BE=4，求DE的长。
【答案】情况一如下入所示，直线l在△ABC的外侧∵AC⊥BC∴∠ACB=90°∴∠ECB+∠DCA=90°∵∠DAC+∠DCA=90°∴∠DAC=∠ECB在△CDA与△BEC中∴△CDA≌△BEC∴AD=CE，DC=EB∵AD=2，BE=4∴CE=2，DC=4,∴DE=2+4=6情况二如下入所示，直线l在△ABC的内侧同理可证△ADC≌△CEB∴AD=CE，BE=DC∵AD=2，BE=4∴CE=2，CD=4∴DE=4－2=2例2.如图，∠C=90°，BE⊥AB且BE=AB，BD⊥BC且BD=BC，CB的延长线交DE于F。
求证：点F是ED的中点；【答案】证明：过点E作EG垂直于BF的延长线于点G∵EB⊥AB∴∠EBA=90°∴∠EBG+∠ABC=90°∵∠C=90°∴∠ABC+∠BAC=90°∴∠EBG=∠BAC在△ABC与△BEG中∴△ABC≌△BEG∴BC=EG∵BC=BD∴EG=BD在△EGF与△DBF中∴△EGF≌△DBF∴EF=DF∴点F是ED的中点二、证中点（需证2次全等）（1）过端点作另一边的平行线：目的：构造出一组全等三角形特点：中线倍长的反向应用例1.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D，E分别是AC和AC的延长线上的点，连接BD，BE，若AB=CE，∠DBC=∠EBC。
求证：D是AC的中点。
【答案】：如图，过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点F∵CF∥AB∴∠ABD=∠DFC∴∠DBC+∠BFC=∠ABC∵∠ABC=∠ACB∴∠ACB=∠DBC+∠BFC∵∠BCF+∠DBC+∠BFC=180°，∠BCE+∠ACB=180°∴∠BCF=∠BCE在△BCF与△BCE中∴△BCF≌△BCE∴CF=CE∵CE=AB∴AB=CF在△ABD与△CFD中∴△ABD≌△CFD∴AD=DC∴D是AC的中点例2.如图，AB⊥AE，AB=AE，AC⊥AD，AC=AD，AH⊥DE于点H，延长AH交BC于点M。
求证：M是BC的中点。
【答案】：如图，过点B作AC的平行线，交AM的延长线于点F∵BF∥AC∴∠BFA=∠MAC∴∠BFA+∠BAF=∠BAF+∠MAC=∠BAC∵AC⊥AD，AB⊥AE∴∠DAC+∠BAE=180°=DAB+∠BAC+∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠BAC又∵∠ABF+∠BFA+∠BAF=∠ABF+∠BAC∴∠FBA=∠DAE∵AG⊥DE∴∠AHE=90°∴∠HAE+∠AEH=90°∵∠BAF+∠HAE=90°∴∠BAF=∠AEH在△BAF与△AEF中∴△BAF≌△AEF∴BF=AD∵AD=AC∴BF=AC在△FBM与△ACM中∴△FBM≌△ACM∴BM=MC∴M是BC的中点（2）两端点向中线作垂线：目的：构造出一组全等三角形特点：与已知中点时向中线作垂线方法一致例1.如图，AB⊥AC，AB=AC，D是AB上一点，CE⊥CD，CE=CD，连接BE交AC于点F，求证：F是BE的中点。
【答案】：如图，过点E作EG垂直FC交FC于点G∵CE⊥CD，AB⊥AC，EG⊥FC∴∠DCE=∠BAC=∠EDC=90°∴∠ECG+∠ACD=90°，∠ADC+∠ACD=90°∴∠ADC=∠ECG在△ADC与△GCE中∴△ADC≌△GCE∴EG=AC∵AC=AB∴AB=EG在△ABF与△GEF中∴△ABF≌△GEF∴BF=EF∴点F是BE的中点例2.如图，A、B、C三点共线，D、C、E三点共线，∠A=∠DBC，EF⊥AC于点F，AE=BD。
（1）求证：C是DE的中点；（2）求证：AB=2CF【答案】：（1）证明：过点D作DG垂直AC，交AC的延长线于点G∵EF⊥AC，DG⊥AC∴∠AFE=∠DGB=90°在△AFE与△BGD中∴△AFE≌△BGD∴FE=DG在△DCG与△ECF中∴△DCG≌△ECF∴DC=CE∴点C是DE的中点（2）AB=AF－BF=BG－BF=FG=FC+CG∵△DCG≌△ECF∴FC=CG∴AB=2CF方法2 作垂线构造全等求点的坐标方法：求点P的坐标，过点P作横纵坐标的垂线，将求坐标转化为线段。
利用直角三角形和题干中的特殊条件求证全等三角形，进而求解线段长度。
例1．如图，△ACB为等腰直角三角形，AC=BC，AC⊥BC，A（0,3），C（1,0），求B点的坐标。
【答案】：如下图，过点B作x轴的垂线，交x轴于点D。
点O为坐标轴原点∵AC⊥BC∴∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACO=90°∵∠OAC+∠ACO=90°∴∠OAC=∠BCD在△OAC与△DCB中∴△OAC≌△DCB∴AO=DC，OC=BD∵A（0,3），C（1,0）∴OA=3，OC=1∴CD=3，DB=1∴OD=4∴B（4,1）例2．如图，△ACB为等腰三角形，A（－1,0），C（1,3），AC⊥BC，求B点的坐标。