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DE
C 截长
1
2
A
4补
短 3
F
B
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
4.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
1.如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10, BD=6,AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
1.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点—X和Y 语言描述:连结XY 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
1.如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
连
线
A
C
D
构
连接AC
造
构造全等三角形
全
等
连线 构造全等
2.如图,AB与CD交于O,且AB=CD, AD=BC，OB=5cm,求OD的长.
在证明过程中描述添法
1.已知，如图AD是△ABC的中线，
求证：AD 1 ( AB AC) 2
A
延长AD到点E，使DE=AD，
连结CE.
B
思考：若AB=3,AC=5 求AD的取值范围？
D E
倍 长 中 C线
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE
∵AD为△ABC的中线 （已知）A ∴BD=CD （中线定义）
A
过点D作DE⊥AB于点E
E
B
C
D
角平分线上的点向角两边做垂线段
角平分线上点向两边作垂线段
典例:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o,B A
BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
F
过点E作EF⊥BC
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
D
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
线段与角求相等，先找全等试试看。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。 三角形里有中线，延长中线=中线。 想作图形辅助线，切莫忘记要双添。
截长 补短
1.已知在△ABC中 ,
∠C=2∠B, ∠1=∠2
A
求证:AB=AC+CD
E
12
B
D
C
在AB上取点E使得AE=AC,连接DE
F
在AC的延长线上取点F使得CF=CD,连接DF
2.如图所示，已知AD∥BC，
∠1=∠2，∠3=∠4，
直线DC经过点E交AD于点D，
交BC于点C。 求证：AD+BC=AB
专题学习
----几何证明中常见的 “添辅助线”方法
知识回顾： 包括直角三角形
一般三角形 全等的条件：
定义（重合）法；
解题 1.SSS；
中常 2.SAS；
不包括其它形
用的 4种
3.ASA；
状的三角形
方法 4.AAS.
5,直角三角形 全等特有条件H：L.
方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
（1）：已知两边----
连接BD
A
C
构造全等三角形
D
B
拓展题
3.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC∥EF
F
E
D
A
B
C
2.中线延长一倍
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN
和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
2.练习；如图1，AD是△ABC的中线， AB=3,AC=5，求中线AD的取值范围。
• 例、如图，AD为△ABC的中线， • ∠ADB、∠ADC的平分线交AB、AC于E、F。 • 求证：BE+CF＞EF
分析：本题中已知D为BC的中点， 要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D将BE旋转， 使这三条线段在同一个三角形内。
找第三边 (SSS) 找夹角 （SAS) 找是否有直角 (HL)
已知一边和它的邻角 (2):已知一边一角---
找这边的另一个邻角(ASA) 找这个角的另一个边(SAS) 找这边的对角 (AAS)
已知一边和它的对角
找一角(AAS) 已知角是直角，找一边(HL)
(3):已知两角---
找两角的夹边(ASA) 找夹边外的任意边(ห้องสมุดไป่ตู้AS)
在△ACD和△EBD中
BD=CD （已证）
D
∠1=∠2 （对顶角相等B）
C
AD=ED （辅助线作法）
∴△ACD≌△EBD （SAS）
E
∴BE=CA（全等三角形对应边相等图5）1
∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之
和大于第三边）
∴AB+AC>2AD。
（
（常延长中线加倍，构造全等三角形）
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