d 8 m E 2 2 dx h
2 2
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c2 sin( ) x 2 2 h h
2 1 2 2 1 2
边界条件： x 0 , 0
2
x l , 2 0
8 m E 8 m E c1 cos( ) x c sin( ) x 2 h2 h2
1927年，美国, C. J. Davisson L. H. Germer 单晶 体电子衍射实验 G.P.Thomson 多晶金属箔电子衍射实验 质子、中子、氦原子、氢原子等粒子流也同样观 察到衍射现象，充分证实了实物微粒具有波动性， 而不限于电子。
22
氧化锆晶体的X射线衍射图
金晶体的电子衍射图
23
n h E 2 8m l
2
n 1,2,3,
nx ( x) c2 sin( ) l
nx ( x) c2 sin( ) l
nx c sin ( )dx 1 l 0
l 2 2 2
* d 1
nx 2 c sin ( ) 1 l 0
l 2 2 2
2 c2 l
25
波粒两相性是微观粒子运动 的本质特性，为微观世界的 普遍现象。
26
-1.1.4- 不确定关系(测不准原理)
x D A e O P
y
Q
A
O C
P psin
电子单缝衍射实验示意图
单 缝 衍 射
1.2 量子力学基本假设
量子力学是描述微观粒子运动规律 的科学。 电子和微观粒子不仅表现出粒性， 而且表现出波性，它不服从经典力 学的规律。
31
-1- 波函数和微观粒子的运动状态
假设1 对于一个微观体系，它的状态和 有关情况可用波函数Ψ(x, y, z)表示。
※波函数的自变量
Ψ是体系的状态函数，是体系中所有粒子坐标 的函数，也是时间的函数。 定态波函数：与时间无关的波函数.Ψ(x, y, z） 非定态波函数：Ψ(x, y, z, t）光吸收，辐射
正交
d 0
i j
i j i j
归一
d 1
i j
归一化常数的求法
36
-2- 力学量和算符
假设II 对一个微观体系的每个可观测的 力学量都对应着一个线性自轭算符.
算符：对一个函数施行某种运算（或动作） 的符号。
, ,lg,
d dx
d 2 dx
2
线性算符
Â(1＋2)＝ Â1＋ Â2
第1章 量子力学基础知识
《结构化学》工具
1
经典物理学理论
机械运动——Newton 三定律 电磁现象和光的波动——Maxwell 电磁理论 热现象——Gibbs的热力学，Boltzmann统计 物理学
经典物理学的研究对象
质量 >> 原子，分子 速度<<光速
2
1.1 微观粒子的运动特征
黑体辐射
光电效应
实验曲线
黑体辐射能量分布曲线 波长
2. Wien（维恩）
能 量
Wien曲线
RayleighJeans曲线
实验曲线 黑体辐射能量分布曲线 波长
辐射波长的分布类似于 Maxwell的分子速度的分 布 在短波处与实验结果比较 接近，长波处与实验曲线 相差较大
8
3. Planck（普朗克）
假设黑体中的原子或分子辐射能量 时做简谐振动，它只能发射或吸收 频率为ν 、数值为 ε= hν的整数倍 的电磁能。
自轭算符
∫1*Â1 d＝∫1(Â1 )*d ∫1*Â2 d＝∫2(Â1 )*d
例如， Â＝id/dx， 1＝exp[ix]， 1*＝exp[-ix]， 则，∫exp[-ix](id/dx)exp[ix]dx＝∫exp[-ix](exp[ix])dx＝-x. ∫exp[ix] (id/dx)exp[ix] *dx＝∫exp[ix](exp[ix])*dx＝-x.
2 1 2 2 1 2
(0) c1 cos(0) c2 sin(0) 0
8 m E c2 sin( ) x 2 h
2 1 2
c1 0
xl 2 8 m E
( h
2
) l n
2
1 2
8 m E (l ) c2 sin( ) l 0 2 h
2 1 2
n 1,2,3,
只有当入射光的频率υ大于υ0，才有光电 子产生且每种金属有一固定的频率 υ0， 称为该金属的临 频率，当入射光的频率 υ <υ0，无论怎样增加光的强度，延长照 射时间，都不会有光电子产生。 光电流的大小与光的强度成正比， 光电子的最大动能随入射光的频率增加 而增大，与光的强度无关，即使光的强 度减小到原来的一半，光电子的动能也 不变。
5
1. Rayleigh-Jeans（瑞利-金斯） 2. Wien（维恩） 3. Planck（普朗克）
6
1. Rayleigh-Jeans（瑞利-金斯）
经典热力学和统计力学理论 能量按自由度均分的原则运用到电磁辐 射上得到辐射强度公式
能 量 Wien曲线 RayleighJeans曲线
长波处接近实验曲 线，短波处与实验 显著不符。
c
i 1 2 i
1
4.2 非本征态的力学量的平均值
ˆ a A
ˆ d a A
*
1.3箱中粒子的薛定谔方程及其解
物理模型： 一个质量为 m的粒子，在一维x方向上运动 势能V为： 0 (0<x<L); V= ∞ (x≤0和x≥L)
48
ˆ E H
ˆ T ˆ V ˆ H
p
光强 能量守恒和动量守恒
h

Einstein的光子学说对光电效应的解释
光电子动能mv 2/2
斜率为h
纵截距为-φ
光频率ν
1 2 h W Ek h 0 mv 2
光本质
光是由光子（微观粒子）组成的光束 光电 效应 光是一种电磁波 光的干涉和衍射 光具有波粒两象性，即一些场合光的行为 象粒子，另一些场合光的行为象波。 光本质：微粒说 （Newton） 波动说 （Huygens，Maxwell） 光子学说 (Einstein)
M. Born为此获1954年诺贝尔物理学奖.
24
Born的统计解释
采用弱电子流实验，让电子先后一个一个地到达 底片，只要时间足够长，也能得到同样的衍射图 形。 电子衍射不是电子之间相互作用的结果，而是电 子本身运动所固有的规律性。 对大量粒子而言，衍射强度大的地方（波强度大） 粒子出现的数目多。衍射强度小的地方，粒子出 现的数目少。 对一个粒子而言，衍射强度大的地方（波强度大） 粒子出现的几率大。衍射强度小的地方，粒子出 现的几率小。
n( x)
2nx l 1 cos 2 l 1 c2 2 0
2 nx sin l l
n 1,2,3,
讨论
粒子有多种运动状态
2 nx n ( x ) sin l l
2 x 1( x ) sin l l
2 2x 2 ( x ) sin l l
n 1,2,3,
M. Planck
频率为ν的振子发射的能量可以为： 0 hν，1 hν，2 hν，……，n hν 几率比： 1 ： e- hν/kT: e- 2hν/kT: ….. : e- nhν/kT
9
频率为v的振动的平均能量
E
nhe e
n n
nh / kT
nh / kT

h e h / kT 1
那么对Ψ所描述的这个微观状态，其力学 量 A 具有确定的数值a，a 称为力学量 算符 的本征值， Ψ称为 的本征态 或本征波函数 ，上式称为 的本征方程。
Schrodinger 方程
ˆ E H
-4-态叠加原理
假设IV 如果用Φi (I = 1, 2, 3)描写微观 客体的n个可能状态，则它们的线性组合 叠加所得的波函数ψ也描写这个体系的一 个可能状态.
18
-1.1.3- 实物微粒的波粒两象性
微观粒子： 光子（无静止质量） 电子，质子，原子和分子（静止质量不为0）
实物微粒
19
得布罗意(de Broglie)关系式：
E h
p h
L.V.de Broglie

20
粒子 电子 电子 氢原子 氢原子 枪弹
质量（g） 9E-28 9E-28 1.6E-24 1.6E-24 ≈10
速度（cm/s ） λ=h/mv(cm) 108 10
10
粒子近直径 》 10E-13 》 10E-13 > < 10E-8 10E-8
波动性 较显著 较显著 较显著 不显著 基本没有
7E-8 7E-10 4E-8 4E-11 6E-33
105 108 105
《 1
21
实物粒子波粒两象性的实验证实 —电子单缝衍射实验
(1) 时空的算符就是他们自己：
（2）动量的算符定义为：
40
其它物理量的算符表示法：
41
例: 经典力学动能算符的写法
其中
叫做拉普拉斯（Laplace）算符
42
43
3 本征态,本征值和Schrodinger 方程
假设 III 若某一力学量A的算符 作用于某一状态函数Ψ后，等于某一常 数a 乘以Ψ ，即
实物微粒的波代表的物理意义
1926年，M. Born（波恩）提出实物微粒波的 统计解释。 他认为空间任何一点上波的强度（振幅绝对 值的平方）和粒子出现的几率成正比。这种 波又叫几率波。 Ψ*Ψ代表时刻t在空间q点发现粒子的概率密度, Ψ*Ψdτ是时刻t在空间q点附近微体积元dτ内发 现粒子的概率.