，则双曲线 离心率的取值范围为
．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17. 锐角
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设
．
（1） 求 ．
（2） 若
，且
的面积为 ，求
的周长．
18. 如图，在四棱锥 ．
中，平面
平面
，
，
，
（ 1 ） 求证：
．
（2）
4
若 为线段 上的一点， 二面角的余弦值．
中心为点 ，作
为外接球的球心：
，
，
即球 半径为
．
故选： ．
， 交 中垂线 于点 ，
，
13.
解析:
∵
当
时，
，
，∴ 单减区间为
．
14.
解析:
由题意，从 名志愿者中选 人有
种，
再分派到 个不同的舍去参加公益活动，则不同的分派方案有
故答案为： ．
种．
15.
解析:
∵数列 为等差数列，且 是 和 的等比中项，
∴
16
（ 2 ）记一名顾客购物支付的费用为 ， ， ， ， ，
分布列为：
所以，一名顾客购物的平均费用为：
（元）．
22.（ 1 ）曲线 的普通方程
，直线 的直角坐标方程为
．
（2）
．
解析:
（ 1 ）直线 的极坐标方程
化成
，
∵
，
，
∴直线 的直角坐标方程为
，
曲线 的参数方程化成：
，（ 为参数），
平方相加得
，
单调递减的函数是（ ）．
5. 已知函数 A.
，则函数
的图象大致为（ ）．
B.
C. D.
1
6. 从区间 随机抽取 个数 ， ， ， ， ， ， ， ，组成坐标平面上的 个点
，
，
，其中到原点距离小于 的点有 个，用随机模拟的方法得到的圆周率
的近似值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
7. 执行如图所示的程序框里，输出的结果是（ ）．
，
即
．
当
时，
当
时，
所以
所以 的取值范围是
，在 ，在
．
单调递减； 单调递增； ．
21.（ 1 ）
，．
（ 2 ）0.85a元．
解析:
（ 1 ）由
，两边同时取常用对数得：
设
，
∴
，
∵
，
，
， ，
∴
把样本中心点
代入
，
得：
，
∴
，
∴
，
∴ 关于 的回归方程为：
把
代入上式，
，
活动推出第 天使用扫码支付的人次为 ．
， ，
（2） 求
面积的最大值．
23. 已知函数
，若
的解集为
．
（ 1 ） 求 并解不等式
．
（ 2 ） 已知：
，若
，对一切实数 都成立，求证：
．
【答案】 1. A
解析: ∵ ∴ 对于 ∴ ∴ 故选： ．
2. C 解析:
对应的点为
， ， ， ， ．
， ，位于第三象限．
6
故选 ．
3. D
解析:
全称命题的否定为特称命题，
（ 2 ）设
，
由
得
因为
，
故
，
，
，
，
．
．
，
， 在椭圆 上，
，即
，
．
20.（ 1 ） 的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）
．
解析:
（1）
，
15
当
时，
， 单调递增；
当
时，
， 单调递减．
所以 的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（ 2 ）由
得
，
也就是
，令
，
则
，由
知，
．
设
，
，在
单调递增，
又
，
，所以存在
使得
，． ， ， ， ， ，
8. B 解析:
8
设向量 与夹角为 ，
∵
，
∴
，
，
又由
，
则
，
所以
．
故选 ．
9. A 解析: 如图过点 作
垂直准线交准线于点 ，过点 作
y
4
垂直准线交准线于点 ，
2
–4 –2 O
x
2
4
–2
抛物线
的焦点的坐标为
，联立
得
由韦达定理知
，
，
∴
，
，
由抛物线定义知
，
，
∴
∴
，
∴
．
故选 ．
， ，
∴全称命题，
，
的否定为特称命题，
，
．
故选 ．
4. D
5. C
解析:
的定义域为 ，
∵
，
∴ 为偶函数，
∵
，
，
∴
．
故选 ．
6. C
解析:
由题意，两数的平方和小于 ，对应的区域的面积为
，从区间 随机抽取 个数 ， ，
， ，，，
构成 个数对
，
，，
对应的区域的面积为 ，
∴
，
∴
．
故选： ．
7
2
7. B 解析: 如图程序框图中，初始值为 第 次循环： ． 不成立． 第 次循环： ， ，不成立． 第 次循环： ， ，不成立． 第 次循环： ， ，不成立． 第 次循环： ， ，成立． 循环终止，输出 ． 故选 ．
即
．
故答案为：
．
（ 2 ）设点
则 到直线 的距离为：
， ，
当
时，
，设的面积为 ，则 Nhomakorabea．
17
故答案为：
．
23.（ 1 ） ；解集为
．
（ 2 ）证明见解析．
解析:
（ 1 ）由
可得：
，即
，
解集为
，所以 ，
当
时，不等式
化成
，解得：
；
当
时，不等式
化成
，解得：
，
综上所述，解集为
．
（ 2 ）由题意得
对一切实数 恒成立，
，
最小二乘估计公式分别为：
， ，，
，
， ，其回归直线
．
． 的斜率和截距的
（ 1 ） 根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次 关于活动推出天数 的回归方程适合用
来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第 天使用扫码支付的人，．
（ 2 ） 推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如下表：
支付方式
，
，
，求平面 与平面 所成锐
19. 已知椭圆
的长轴长是离心率的两倍，直线
， 点，且 的中点横坐标为 ．
（ 1 ） 求椭圆 的方程． （ 2 ） 若 ， 是椭圆 上的点， 为坐标原点，且满足
率的平方之积是定值．
交于 ，求证： ， 斜
20. 已知函数
（ 1 ） 求 的单调区间．
（2） 若
在
，
．
上成立，求 的取值范围．
10. B 解析:
9
函数 的最小正周期为
令
，
，
则函数 在
，故①正确； ， ，
上为增函数，
当
时，
在
上为增函数，
当
时，
在
上为增函数，
故②错误；
令
，
，
，
，
则函数 关于点
对称，故③错误；
综上所述，①正确，②③错误． 故选 ．
11. B
解析:
数列 满足
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
累加后得，
，
则
，
10
则数列
的前 项和是，
，即
，∵
，∴
，
∵
，∴
，
∴
．
故答案为：
．
16.
解析:
设
，
，
则
，
12
， 又由余弦定理得：
，
即
①，
又由双曲线定义得
，
即
②，
而
，
即
③，
② ③得
，
将①代入得：
，
即
，
∴
，
∴
．
17.（ 1 ） ．
（2）
．
解析: （ 1 ）由已知及余弦定理可得：
，
∴
，
∵
为锐角三角形，
∴
．
（ 2 ）由正弦定理，可得
，
∵
，
∴
，
解得
，
从而
，
∵
，
∴
的最小值为 ，
∴
，又
，
∴
．
18
现金
会员卡
扫码
比例
商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受 折优惠，扫码支付的顾客随机优
惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的顾客，享受 折优惠的概率为 ，享受 折优惠的概率为 ，
5
享受 折优惠的概率为 ，现有一名顾客购买了 元的商品，根据所给数据用事件发生的频率来估计相 应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用是多少．
，故 正确； 故选 ．
12. A