x i? 1 ( k ) ? s i x i ( k ), i ? 1,2 ,? , n ? 1
~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比
（与si 的定义 xi?1 (k ? 1) ? si xi (k ) 比较）
9
一个简单实例：
考虑一个没有多少移民迁入与外界隔绝的部落。假设 该部落中没有年龄大于60的女性，将该部落中的女性分 分成期限为20年的3个年龄组，并知其Leslie矩阵是
0
0?? ??1000?? ?
? ?
500
??,
?? 0 1/ 4 0?? ??1000?? ?? 250 ??
? 0 4 3? ?7000? ?2750?
X (2) ? LX (1) ? ??1/ 2
0
0??
? ?
500
? ?
?
??3500 ?? ,
?? 0 1/ 4 0?? ?? 250 ?? ?? 125 ??
x* ?
1, s1, s1s2 ,?
s1s2 ?
sT n?1
?b1
? ?
s
1
?
L? ?
?
?
?
?0
b 2
?
0
?
s2 ?
bn?1 bn ?
0
0
? ?
?
0
?
? ?
?
?
s n?1 0 ?
b1 ? b2s1 ? ? ? bns1s2 ? sn?1 ? 1
~ 1个个体在整个存活 期内的繁殖数量为 1
4) x(k ) ? c? k x * , x * ? [1, s1 , s1 s2 ,? , s n?1 ]T
xi (k ? 1) ? ?xi (k ) 倍数增减， ?称固有增长率
与基本模型 x(k ? 1) ? Lx (k ) 比较
3）? =1时 x(k ? 1) ? x(k ) ? cx *
? ? x * ? 1, s1 , s1s2 ,?
s1s2 ?
sT n?1
~ 各年龄组种群 数量不变
8
稳态分析
? ? 3）? =1时 Lx* ? x*
bn ?
0
? ?
x(k ) ? [x1 (k ), x2 (k),? xn (k)]T
~按年龄组的分布向量
? s2
?
?
0
?
? ?
?
? sn?1 0 ?
x(k ? 1) ? Lx (k )
x(k ) ? Lk x(0)
预测任意时段种群
~Leslie 矩阵(L矩阵)态分析的数学知识
5
假设 xi(k) ~时段k第i 年龄组的种群数量
与 建模
n
x1 (k ? 1) ? ? bi xi (k) (设至少1个bi>0) i?1
?b1 ??s1 ? L? ? ? ? ? ?0
xi?1 (k ? 1) ? si xi (k ), i ? 1,2,? , n ? 1
b2 ? 0
bn ? 1 0
11
二、延迟模型
Logistic模型：
dN ? rN (1? N ) ?
dt
Nm
N (0) ? N0, t ? 0.
N (t)
?
1?
(
Nm Nm ?
1)e? rt
N0
假定 Logistic 模型中人口数量的增长率与过去 的人口数量有关，环境对人口的制约作用并不是立 即见效，而是有一个滞后，要延迟到 T 时刻后才起 作用，则 Logistic 模型可改为：
第三讲 人口增长与预测模型
人口增长与人口问题背景知识
1
纵向观察：
世界人口增长是由规律可循的 古代 ----增长缓慢 近代 ----人口快速增长 现代 ----人口“爆炸性”增长
影响人口增长的因素 ----
自然 --
人文-- 生产力发展水平、经济、 医疗卫生条件、生活等
国际大环境 ---
2
空间差异
? L矩阵存在正单特征根 ? 1， ? k ? ?1 , k ? 2,3,? n
T
特征向量
x*
?
??1, ?
s1
?1
,
s1s2
?2 1
,?
,
s1
s
2?
? n?1 1
s
n?
1
? ? ?
? 若L矩阵存在 bi, bi+1>0, 则 ? k ? ? 1 , k ? 2,3,? , n
且
lim
k? ?
x(k )
?
k 1
?
cx * , c是由bi, si, x(0)决定的常数
解 x(k ) ? Lk x(0) L对角化 L ? P[diag (? 1,? ? n )] P ? 1
释
Lk
?
P [diag
(
?
k 1
,
?
?
k n
)]
P
?
1
P的第 1列是 x *
lim
k? ?
x(k )
?
k 1
?
Pdiag (1,0,?
3
我国的人口出生率、死亡率与自然增长率
4
一、按年龄分组的种群增长模型（ Leslie矩阵模型 ）
? 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 ? 以雌性个体数量为对象 ? 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律
1. 假设与建模
? 种群按年龄大小等分为 n个年龄组，记 i=1,2,… , n ? 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记 k=1,2,… ? 第i 年龄组1雌性个体在 1时段内的繁殖率为bi ? 第i 年龄组在1时段内的死亡率为 di, 存活率为si=1- di
发展中国家：人口增长很快，目前发展中国家每年增 长的人口，在世界人口增长总数中约占90% ，原因是：
政治的独立 民族经济的发展 医疗卫生事业的进步
致使人口死亡率下降而 自然增长率高
发达国家：人口增长缓慢，已出现缓慢增长、零增长或 负增长
原因是：由于社会经济和文化教育的发展，人们自愿 节育，出生率逐步下降，目前多已接近零增长，甚至负 增长。
? 0 4 3? ?2750? ?14375?
X (3) ? LX (2) ? ??1/ 2
0
0?? ??3500??
?
? ?
1375
??.
?? 0 1/ 4 0?? ?? 125 ?? ?? 875 ??
因此60年后，年龄从0到20岁的女性有14375名；20到40岁 的女性有1375名；40到60岁之间的女性有875名。
0)P ?1x(0) ? cx*
7
稳态分析——k充分大 种群按年龄组的分布
lim x( k ) ? cx *
? k ? ?
k
1
1) x(k ) ? c? k x * ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，
x*称稳定分布 , 与初始分布无关。
2) x(k ? 1) ? ? x(k ) ~ 各年龄组种群数量按同一
?
?
?0 4 3?
L ? ??1
0
? 0?,
?2
?
? ?0
1
? 0?
? 4?
如果开始时在这3个年龄组中每组有1000名女性，即
?1000? X (0) ? ??1000??,
??1000??
于是由 x(k) ? Lk x(0)，得到
10
? 0 4 3? ?1000? ?7000?
X (1) ? LX (0) ? ??1/ 2