②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）； ③“片段和”性质： 等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.
【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，
的变形形式：Sn=
dn2 2
（a1
d2）n或Sn=An2+Bn.
2.依据等差数列的性质得到的结论.
（1）当n为奇数时，Sn= n a n 1；
2
（2）S n
n
=a1+（n-1）d2
.
【特别提醒】注意应用等差数列性质来简化计算过程，同时在解
题过程中还应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.
【例1】已知等差数列{an}.
(1)a1= 5 , a15= 3 , Sn=-5,求n和d;(2)a1=4,S8=172,求a8和d.
6
2
【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程.
【规范解答】（1）∵a15=
5 6
+(15-1)d=
3 2
, ∴d=
1 6
.
又Sn=na1+n
n 2
1· d=-5,解得n=15,n=-4（舍）.
n（
n×（1）-５）＝
2
5 n2 1 n． 22
答案： 5 n 2 1 n
d
1 1 0 10 9 91 1 =0 -11 0 19 0 .(1 1)
1 0 0 2 5 0
故此数列的前110项之和为-110.
方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差
数列,设其公差为D,前10项和为10S10+1
0
2
9·D=S100=10
方法三：先求出公差d=-2（同方法一）， ………………6分
由S17=S9，得a10+a11+…+a17=0，
而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14，
故a13+a14=0
…………………………………………9分
∵d=-2＜0,a1＞0,∴a13＞0,a14＜0.
故n=13时，Sn有最大值169.
∵a1=25＞0,故{an}为递减数列，由
a a
n n
得0
1＜ 0
2255（ 22nn＜解01）得 0,
n n
13 1
……2………………9分
＞ 12 1 2
即121＜n 又13n1∈. N*
2
2
∴当n=13时，Sn有最大值S13=13×251+3（123 1）×（-2）
=169.
…………………………………………12分
【思考】
等差数列前n项和的有关计算
【名师指津】 1.等差数列前n项和的应用
（1）等差数列前n项和公式，共涉及到五个量a1、n、d、an、 Sn.若已知其中三个量，可求另外两个量，也就是我们说的“知 三求二”，其方法一般是通过通项公式和前n项和公式联立方
程（组）求解.
（2）在利用等差数列前n项和公式解题时，常常要联系该公式
【典例】（12分）在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9，求Sn 的最大值. 【审题指导】题目给出首项和S17=S9等条件，欲求Sn的最 大值可转化为二次函数求最值，或利用通项公式an求n使得 an≥0,an+1＜0或利用性质求出大于或等于零的项.
【规范解答】方法一：设公差为d,由S17=S9得
求S110.
【规范解答】方法一:设等差数列{an}的公差为d,前n项和
为Sn,则Sn=na1+n
n 2
1
d
.
由已知得
10a1
109 2
d
100,①
100a1
10099 2
d
10,②
①×10-②,整理得d= 1 1代, 入①,得a1=
50
1 099 . 100
∴S110=110a1+110
2
109
D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D
=100+10×(-22)=-120.
∴S110=-120+S100=-110.
【例】已知等差数列{an}的前4项和为25，后4项和为63， 前n项和为286，求项数n.
【审题指导】题目给出前4项和与后4项和，可利用等差数
列项数（下标）Leabharlann “等和”性质：25×17+1（7 17 1=）2d 5× 9 （9 9…1…）d…, …………3分
2
2
解得d=-2，………………………………………………6分
∴Sn=25n+n （
n 2
×1）（-2）=-（n-13）2+169，
………9分
由二次函数性质得，当n=13时，Sn有最大值169. ……12分
方法二：先求出公差d=-2（同方法一）， ………………6分
S19＝（ ）
（Ａ）55 （Ｂ）95
（Ｃ）100 （Ｄ）不能确定
【解析】选Ｂ．S19＝1（ 9a12a19） ＝ 1（ 9 ＝a9325．a17）
3.已知数列{an}的通项an＝-５n＋２，则其前ｎ项和
Sn＝_______．
【解析】an+1-an＝-５，∴{an}是等差数列．a1＝-３，
ｄ＝-５，∴Sn＝-３ｎ＋
……………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：
1.在等差数列{an}中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（ ）
（A）70 （Ｂ）35 （Ｃ）30 （Ｄ）12
【解析】选Ｃ．S6＝（ 6a1a6） ＝6＝ （ 340．6）
2
2
2.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a3＋a17＝10，则
Sn= n（ a1an） n（ a来m 求an 得m . 1 ）
2
2
【规范解答】因为a1+a2+a3+a4=25，an-3+an-2+an-1+an=63.
而a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3，所以4（a1+an）=88，所
以a1+an=n2（2a，12 a n）
所以Sn=
=11n=286，所以n=26.故所求的项数为26.
（2）由已知，得S8=8a1a88解4得a8a8,=39,
2
2
又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
等差数列前n项和的性质
等差数列前n项和的性质.
(1)项数（下标）的“等和”性质：
S nna1 2 annam 2 an m 1
(2)项的个数的“奇偶”性质：
等差数列{an}中，公差为d： ①若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）； S偶-S奇=nd；S偶∶S奇= an+1∶an；