四、双空题
16．已知三棱锥 的四个顶点都在球O的表面上， 平面 ， ， ， ， ，则球O的表面积为________；若D是 的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的范围是________．
五、解答题
17．已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 ，当 时，求函数 的值域．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小鼠为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
（1）求方案甲化验次数X的分布列；
（2）判断哪一个方案的效率更高，并说明理由.
21．已知点 ，椭圆 的离心率为 ， 为椭圆 的右焦点，直线 的斜率为 .
（1）求证： ；
（2）若平面 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验.已知5只小鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病，需要通过化验血液来确定患病的小鼠.血液化验结果呈阳性的即为患病小鼠，呈阴性即没患病.下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病小鼠为止.
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，在 轴上是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
22．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间和极值；
（2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ，且当 时， ，证明： ．
18．在① ；② ；③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.
在△ 中，内角A，B，C所对的边分别为 .且满足_________.
（1）求 ；
（2）已知 ，△ 的外接圆半径为 ，求△ 的边AB上的高 .
19．如图，在三棱锥 中，侧面 是边长为2的等边三角形， ， 分别为 ， 的中点，过 的平面与侧面 交于 .
福建省厦门第一中学2021届高三（10月月考）数学第一次质量检测试题
学校:___________姓名：___ห้องสมุดไป่ตู้_______班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，若 ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知复数 满足 (其中 为虚数单位)，则复数 的虚部为（）
参考答案
1．B
【分析】
先求出集合 ，再利用 可以求出 的值，即可求出集合 ，进行并集计算即可.
【详解】
,
因为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，
解方程 得： 或 ，
所以 ，
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，涉及利用单调性解指数不等式，属于基础题.
2．A
【分析】
由题目条件可得 ，即 ，然后利用复数的运算法则化简.
本题考查全称命题的否定，难度容易.含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论.
4．D
【分析】
利用基本不等式的性质即可得出结果.
【详解】
解：实数 ， 满足 ，则 ，
所以 .可得 .
当且仅当 时，等号成立，
故答案为：D.
【点睛】
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
5．C
【详解】
因为 ，所以 ，
则
故复数 的虚部为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.
3．D
【分析】
根据含一个量词的命题的否定方法直接得到结果.
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题 ：“ ， ”的否定形式 为： ， ，
故选：D.
【点睛】
A． B． C． D．
11．如图，一个水轮的半径为 ，水轮轴心 距离水面的高度为 ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动 圈，当水轮上点 从水中浮现时的起始(图中点 )开始计时，记 为点 距离水面的高度关于时间 的函数，则下列结论正确的是( )
A．
B．
C．若 ，则
D．不论 为何值， 是定值
12．若存在实常数k和b，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数x都满足： 和 恒成立，则称此直线 为 和 的“隔离直线”，已知函数 ， ， （e为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）
A． B． C． D． 或
7．函数 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
8．已知 ， ，在函数 ， 的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 ，当 时，函数 的图象恒在x轴的上方，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、多选题
9． 的充分不必要条件是（）
A． B． C． D．
10．已知实数a，b，c满足 ，则下列关系式中可能成立的是（）
【详解】
抛物线 的焦点为 ，准线 的方程为 .
设点 、 ，则 ， ，
，可得 ，解得 ，
由抛物线的定义可得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
7．C
【分析】
根据函数为非奇非偶函数，可排除B,D，再根据 且 函数值的正负，即可得答案；
【分析】
利用 可得 ，再利用二倍角公式可以求 ，进而可得 的值.
【详解】
因为 为锐角，即 ，所以
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系，考查了正弦的二倍角公式，以及诱导公式，属于基础题.
6．B
【分析】
设点 ，利用 求得点 的横坐标，利用抛物线的定义可求得 .
A． B． C． D．
3．命题 ：“ ， ”的否定形式 为（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．若实数 ， 满足 ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
5．已知 ，且 为锐角，则 （）
A． B． C． D．
6．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点， 是直线 与抛物线 的一个交点，若 ，则 （）
A． 在 内单调递增
B． 和 之间存在“隔离直线，且b的最小值为4
C． 和 间存在“隔离直线”，且k的取值范围是
D． 和 之间存在唯一的“隔离直线”
三、填空题
13．若实数 ，则 ________.
14．若x，y满足约束条件 ，则 的最大值是________．
15．已知双曲线C的焦点为 ， ，过点 的直线与双曲线的右支交于A，B两点．若 ， ，则C的方程为________．