2021年黑龙江大庆铁人中学高三上学期期中理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知集合，为整数集，则集合中所有元素的和为（ ）A ．12B ．15C ．18D ．21 2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的函数是（ ） A ．y=sin x B ．y=cos xC ．y=ln xD ．3．sin20°cos10°－cos160°sin170°=（ ）A ．B ．C ．－D ．4．若实数x ，y 满足约束条件，则的最小值为（ ）A ．B ．6C ．D ．4 5．知△ABC 和点M 满足＋＝－，若存在实数m 使得m＋m＝成立，则m等于（ ）A ．B ．2C ．D ．36．若a>0，b>0，且函数f （x ）＝4x 3－ax 2－bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于（ ）A ．4B ．8C ．9D ．18 7．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数（ ）A ．一个对称中心是（－，0）B ．一条对称轴方程为x ＝C ．在区间[－，0]上单调递减D ．在区间[0，]上单调递增21y x =+3-3⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x y x z 23+=531523()cos 2f x x =3π()g x ()g x 3π8．函数的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若＝，则=（ ） A ．B ．C ．D ．10．设α、β都是锐角，且cos α＝，sin （α＋β）＝，则cos β等于（ ）A ．B ．CD ．以上都不对11．已知向量a ，b 满足|a|=2|b |≠0，且关于x 的函数f （x ）=2x 3－3| a |x 2+6 a •b x+5在实数集R上有极值，则向量a ，b 的夹角的取值范围是（ ） A ．（，π） B ．（，π] C ．[，π] D ．（0，）12．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M ，使得函数的值域包含于区间．例如，当．现有如下命题：①设函数的定义域为D ，则“”的充要条件是“”；②函数的充要条件是有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且5041008S S 11010082016S S 12618225107291345315315382()x ϕ()x ϕ()x ϕ[],M M -()()()()31212,sin x x x x x A x B ϕϕϕϕ==∈∈时，，()f x ()f x A ∈(),,b R a D f a b ∀∈∃∈=()f x B ∈()f x ()f x ()g x ()()()(),f x A g x B f x g x B ∈∈+∉，则④若函数有最大值，则． 其中的真命题为（ ）A ．①③B ．②③C ．①②④D ．①③④二、填空题13．已知平面向量a ＝（1,2），b ＝（－2，m ），且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________． 14．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若()226c a b =-+，π3C =，则ABC ∆的面积为_________.15．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝6，S 7＝35，则数列的前100项和为________．三、解答题17．已知，命题“均成立”，命题“函数定义域为R ”．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围． 18．已知向量m ＝（sin ωx ＋cos ωx ，1），n ＝（2cos ωx，－）（ω>0），函数f （x ）＝m·n 的两条相邻对称轴间的距离为．（1）求函数f （x ）的单调递增区间； （2）当x∈[－，] 时，求f （x ）的值域．19．在底面是矩形的四棱锥P­ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC ＝4，E 是PD 的中点．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD ； （2）求二面角E­AC­D 的余弦值；()()()2ln 22,1xf x a x x a R x =++>-∈+()f x B ∈12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭a R ∈:p [0,2],240xxx a ∀∈-+≤:q 2()ln(2)f x x ax =++p a ""p q ∨""p q ∧a（3）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值．20．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2n 对n∈N *成立． （1）证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； （2）求数列{na n }的前n 项和T n ．21．如图所示，曲线C 由部分椭圆C 1：＋＝1（a>b>0，y≥0）和部分抛物线C 2：y＝－x 2＋1（y≤0）连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1所在椭圆的离心率为．（1）求a ，b 的值；（2）过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q （P ，Q ，A ，B 中任意两点均不重合），若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．22．设函数，其中，曲线恒与轴相切于坐标原点． （1）求常数的值；（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：．()()()1ln 1f x ax x bx =-+-,a b R ∈()y f x =x b 01x ≤≤x ()0f x ≥a 10000.41000.5100011001100001000e ⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭参考答案1．A 【解析】试题分析：先将集合化简，，因为整数集，则集合，所以集合中所有元素的和为，故选A ．考点：1、集合的交集；2、一元二次不等式． 2．B 【解析】试题分析：对于A ，由于是奇函数，所以排除A ；对于C ，由于的定义域是，定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，排除C ；对于D ，函数虽是偶函数，但是由于函数的值域是，所以函数不存在零点，排除D ；故选B ．考点：1、奇函数、偶函数；2、函数的零点． 3．D 【解析】试题分析：由于====，故选D ． 考点：1、三角函数诱导公式；2、两角和与差的正弦． 4．C 【解析】试题分析：作出线性约束条件所对应的可行域，如下图阴影所示：A {}23180A x x x =--<{}{}(6)(3)036x x x x x =-+<=-<<Z {}2,1,0,1,2,3,4,5A Z ⋂=--A Z ⋂12sin y x =ln y x =(0,)+∞ln y x =21y x =+21y x =+[)0,+∞21y x =+sin 20cos10cos160sin170-sin 20cos10cos(18020)sin(18010)---sin 20cos10cos 20sin10+sin30124581302x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩可解得点坐标为，当动直线经过点时，有最小值，故选C ． 考点：线性规划、线性约束条件、可行域、最优解． 5．C 【解析】试题分析：由，得，知点是的重心，由，由于是的重心，所以，，故选C ．考点：平面向量． 6．D 【解析】试题分析：因为，所以，由于函数在处有极值，所以，因为，，所以 ，当且仅当，即，时取等号 ，所以的最大值是，故选D ． 考点：1、导数在函数研究中的应用；2、函数的极值；3、基本不等式． 7．C 【解析】试题分析： 因为函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，所以，由于，则不是E 4(1,)532z x y =+4(1,)5E z 42331255⨯+⨯=MB MC MA +=-0MA MB MC ++=M ABC ∆mAB mAC AM +=⇒()()0m MB MA m MC MA MA -+-+=⇒(12)0m MA mMB mMC -++=M ∆ABC 12m m -=13m =32()42f x x ax bx =-+2()122f x x ax b '=--()f x 1x =(1)01220212f a b a b '=⇒--=⇒+=0a >0b >21122()18222a b ab a b +=⋅⋅≤=26a b ==3a =6b =ab 18()cos 2f x x =3π()g x 2()cos 2()cos(2)33g x x x ππ=+=+()cos 0103g π-==≠(,0)3π-的对称中心，排除A ；由于，所以不是的一条对称轴，排除B ；令，可得，，所以的单调递增区间是，，从而知在上不是增函数，排除D ；故选C ．考点：1、函数，的图象及变换；2、函数、的单调区间．8．A 【解析】 试题分析：函数是奇函数，所以的图象应关于原点对称，排除C 、D ；又当时，排除B ；故选A ．考点：1、函数的奇偶性；2、奇函数偶函数图象的对称性． 9．B 【解析】试题分析：因为是等比数列的前项和，且由知，公比，由等比数列的性质可知，，，…也成等比数列，不妨设，则，，从而知数列，，，…是首项为，公比为的等比数列，进而求得，，所以，故选B ． 考点：1、等比数列及前项和；2、等比数列的性质． 10．A 【解析】()g x 41()cos 1332g ππ==-≠±3x π=()g x 22223k x k ππππ-≤+≤k Z ∈563k x k ππππ-≤≤-k Z ∈()g x 5,63k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦k Z ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x sin()y A x ωϕ=+cos()y A x ωϕ=+sin()y A x ωϕ=+cos()y A x ωϕ=+n S {}n a n 5041008110S S =1q ≠504S 1008504S S -15121008S S -20161512S S -5040S a =≠100810S a =10085049S S a -=504S 1008504S S -15121008S S -20161512S S -a 9151291S a =2016820S a =1008201610182082S a S a ==n试题分析：由是锐角及知且，又是锐角及，可得，若，则为锐角，又知，又，所以，与矛盾，，可得，故选 A ．考点：1、两角和与差的正弦、余弦函数；2、角的变换．【易错点晴】本题主要考查两角和与差的正弦、余弦函数及角的变换技巧，属于中等难度题，在由，得出时，要注意进行讨论，特别对角的范围要进行限制，否则容易出错,常见角的凑配技巧（原则上用题目中的已知角来表示所需要求的未知角）有：，，等．11．B 【解析】试题分析：由于在上有极值，则的值在上有正也有负，所以，即，因为，得，所以，故选B ． 考点：1、导数在研究函数中的应用；2、极值；3、平面向量．【易错点晴】本题主要考查导数在函数研究中的应用、极值、平面向量、一元二次不等式，属于难题，在解题时要注意若在上有极值，则的值在上有正也有负，导数在函数研究中的应用非常广泛，利用导数可以判断函数的单调性，求函数的极值，函数的最值，含参不等式的恒成立求参数的取值问题等，另外本题还要注意向量夹角的取值范围是α1cos 3α=sin α=3πα>β4sin()5αβ+=3cos()5αβ+=±3cos()5αβ+=αβ+4sin()5αβ+=<3παβ+<3πα>3παβ+>3παβ+<3cos()5αβ+=-[]cos cos ()βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++=314535-⋅+=4sin()5αβ+=3cos()5αβ+=±22αα=⋅()αββ=+-()()22ααββ=++-22αβαβ+-=+()ββα=--2()()ααβαβ=++-()424πππαα+=--32()2365f x x a x a bx =-+⋅+R 2()666f x x a x a b '=-+R 0∆>2()40a a b -⋅>20a b =≠1cos 2θ<,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()f x R ()f x 'R，否则容易出错．12．D 【解析】试题分析：对命题①，若，则的值域为，所以成立，即必要性成立，另一方面若，那么的值域是，从而，可知充分性成立，所以命题①正确；对命题②，若，则不一定有最大值或最小值，如，此时存在使得的值域包含于，但没有最大值也没有最小值，所以有最大值和最小值不是的必要条件，所以②不正确；对命题③，若，由于，那么必有，这与矛盾，所以③不正确；对于④不妨设的最小值为,最大值为，此时必存在，使得的值域包含于区间，所以，命题④正确；综上故选D ． 考点：1、命题；2、充分条件与必要条件；3、函数定义域与值域；4、新定义问题． 【易错点晴】本题主要考查命题、充分条件、必要条件、定义域、值域，综合性较强，属于较难的题目，其中正确理解集合的定义是解决本题的关键，遇到新定义的问题，要仔细审题，否则容易出错,例如本题，集合的含义是显而易见的，关键是集合，根据题目可知，若，则的值域必然是有界的，例如，，都是有界的，另外，若是上的连续函数，则必有最大值和最小值，那么也是有界的． 13．【解析】 试题分析：由，得得，从而可得．考点：1、平面向量；2、向量平行的坐标运算．[]0,π"()"f x A ∈()f x R ",,()"b R a D f a b ∀∈∃∈=",,()"b R a D f a b ∀∈∃∈=()f x R ()f x A ∈()f x B ∈()f x ()sin ,(,)22f x x x ππ=∈-1M =()f x (1,1)-]1,1⎡-⎣()f x ()f x ()f x B ∈()()f x g x B +∈()g x B ∈()f x B ∈()f x A ∈()f x P T {}max ,M P T≥()f x ],M M ⎡-⎣()f x B ∈,A B A B ()x B ϕ∈()x ϕ()sin f x x =()cos f x x =()f x ],a b ⎡⎣()f x ()f x14【详解】分析：由()226c a b =-+，π3C =，利用余弦定理可得6ab =，结合三角形的面积公式进行求解即可.详解：因为()226c a b =-+，π3C =， 所以由余弦定理得：222c a b =+-π2cos 3ab ，即26,6ab ab ab -+=-=， 因此ABC ∆的面积为1sin 32ab C ==，点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 15．【解析】试题分析：因为是等差数列，由可得，即，又，得公差，所以，所以，所以数列的前项的和为==． 考点：1、等差数列；2、等差数列前项的和；3裂项相消法求数列前项的和． 【方法点晴】本题主要考查等差数列通项、前项和、以及裂项相消法求数列的前项和，属于中等难度题,另外，常见的数列求和方法有：定义法（），公式法（等差数列，等比数列），分组求和法，拆项（分项）法，裂项相消法，错位相减法，倒5051{}n a 735S =1710a a +=45a =56a =1d =1n a n =+122112()(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++12n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭1001111112()()()2334101102⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦112()2102-5051n n n n 123n n S a a a a =+++序相加法，叠加法，等等，其中常见的拆项方法有：若数列是等差数列，其公差为，则，，，，，，等等．16． 【解析】试题分析：由于的定义域为，并且为偶函数，所以要使在上有个不同的单调区间，只需在上有个不同的单调区间即可，因为时，，则只需，解得，故的取值范围是． 考点：1、偶函数；2、导数在函数研究中的应用；3、单调区间．【思路点晴】本题由于是偶函数，所以图象关于轴对称，要使在上有个不同的单调区间，只需的图象在上有个不同的单调区间即可，进而只需的导函数在上的取值有正也有负，则只需，解得，故的取值范围是．17．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由于为真命题，可得在上恒成立，只需求的最小值，即可得到；（2）由命题为真，命题为假，知必然一真一假，当为真命题时，，得，真时，所以{}n a d 111111()n n n n a a d a a ++=-()1111(1)(2)21(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦1k=!(1)!!n n n n ⋅=+-11m m m n n n C C C -+=-1(2)n n n a S S n -=-≥(1,2)321()(2)3f x x ax a x b =-+-+R ()f x R 6()f x (0,)∞30x >321()(2)3f x x ax a x b =-+-+2()22f x x ax a '=-+-2(0)044(2)00f a a a '>⎧⎪-->⎨⎪>⎩12a <<a (1,2)()f x y ()f x R 6()f x (0,)+∞3()f x ()f x '(0,)+∞2(0)044(2)00f a a a '>⎧⎪-->⎨⎪>⎩12a <<a (1,2)0a≤((,0,a ∈-∞-⋃p 42x x a ≤-[0,2]x ∈42x x-0a ≤""p q ∨""p q ∧,p q q 280a ∆=-<a -<<p 0a ≤,p q一真一假时或，可得或，所以．试题解析：（1）若设，可得，得在上恒成立．若设，其中，从而可得，即；（2）若命题为真，命题为假，则必然一真一假．当为真命题时，即在上恒成立时，则，得．又真时，所以一真一假时，可得或，所以．考点：1、命题，真假的判断；2、不等式恒成立问题；3、函数的定义域． 18．（1），；（2）．【解析】试题分析：（1）由题得，又的两条相邻对称轴间的距离为，知，可求得，所以，进而可求得单调增区间是；（2）由，可得，可得在上的值域为． 试题解析：（1）f （x ）＝m·n＝2sin ωxcos ωx＋2cos 2ωx －＝sin 2ωx ＋cos 2ωx＝2sin （2ωx ＋）．因为T ＝＝π，ω＝1．所以f （x ）＝2sin （2x ＋）．由2k π－≤2x＋≤2kπ＋（k ∈Z ）得k π－≤x≤kπ＋（k ∈Z ）．0a a a ≤⎧⎪⎨≥≤-⎪⎩0a a >⎧⎪⎨-<<⎪⎩a ≤-0a <<(,a ∈-∞-⋃2x t =]1,4t ⎡∈⎣2a t t ≤-]1,4t ⎡∈⎣2y t t =-[]1,4t ∈min a y ≤2min ()0a t t ≤-=""p q ∨""p q ∧,p q q 220x ax ++>R 280a ∆=-<a -<p 0a ≤,p q 0a a a ≤⎧⎪⎨≥≤-⎪⎩0a a >⎧⎪⎨-<<⎪⎩a ≤-0a <<(,a ∈-∞-⋃""p q ∨""p q ∧5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈[]1,2-()2sin(2)3f x x πω=+()f x 2πT π=1ω=()2sin(2)3f x x π=+5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1sin(2)123x π-≤+≤()f x ,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]1,2-解得函数f （x ）的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]（k ∈Z ）．（2）由（1）可知，f （x ）在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减，且一条对称轴方程为x ＝，f （x ）最大值为f （）=2，最小值为f （－）=－1,所以f （x ）∈[－2,2]，即f （x ）的值域是[－1,2]考点：1、向量的坐标表示；2、函数单调区间；3、函数的周期，对称轴，值域． 19．（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】试题分析：（1）以为原点，、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，可求得，，，可判定，，又，所以平面，得到平面平面；（2）先求得平面的法向量，平面的法向量，由向量夹角公式，即可得锐二面角的余弦值；（3）若设直线与平面的法向量所成的角为，可求得的值，即可得直线与平面所成角的正弦值．试题解析：：以为A 原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，4，0），D （0，4，0），E （0，2，1），P （0，0，2）， （1）证明：，∴CD ⊥AD ，CD ⊥AP ．又∵AP ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ．又∵CD ⊂平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD ． （2）设平面AEC 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则令z ＝1，则y ＝－，x ＝1，平面AEC 的一个法向量为n ＝（1，－，1）,又平面ACD 的法向量为＝（0，0，2）， ∴cos 〈n ，〉＝＝，∴锐二面角EACD 的余弦值是．（3）设直线CD 与平面AEC 所成的角为θ，平面AEC 的一个法向量为n ＝（1，－，1）且＝（－2，0，0）， 2323A AB D A AP x y z xyz A -(2,0,0)CD =-(0,4,0)AD =(0,0,2)AP =CD AD ⊥CD AP ⊥AD AP A ⋂=CD ⊥PAD PDC ⊥PAD C AE CD A C D E-A -CD C AE θcos θCD C AE 0AD CD ⋅=0CD AP ⋅=AP AP CD∴sin θ＝＝，即直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值为．考点：1、面面垂直；2、二面角；3、线面角．20．（1）证明见解析，； （2）．【解析】试题分析：（1）由，成立，得当时，，两式相减可得，再求得，故数列是等比数列，公比为，首项为，即可求得的通项公式；（2）由（1）可得，利用错位相减法和分组法可得．试题解析：（1）证明：由题，当n ＝1时，a 1＝S 1，故a 1＝2，当n≥2时，由a n ＝S n －S n-1，化简得a n ＝2a n-1＋2,即a n ＋2＝2（a n-1＋2），且a 1＋2＝4 故数列{a n ＋2}是等比数列，公比为2，首项为4，∴a n ＝2n+1－2． （2）由（1）知∴T n ＝a 1＋2a 2＋…＋na n ＝（n －1）2n ＋2＋4．考点：1、等比数列；2、由递推关系求通项；3、数列前项的和． 21．（1），；（2）．【解析】试题分析：（1）结合图形在中，令，得，再联立，可得，，；（2）由题易得点，，由题知直线与轴不重合也不垂直，可设其方程为（），联立的方程，整理得，解得点的坐标为，结合图形知，再将代入的方程，得点的坐标为，再由23122n n a +=-2(1)24(1)n n T n n n -=-+-+22n n S a n =-n *∈N 2n ≥1122(1)n n S a n --=--()1222n n a a -+=+124a +={}2n a +24n a 122n n na n n +=⋅-n T (1)n n -+n，即得，求得方程．试题解析：（1）在C 2的方程中令y ＝0可得b ＝1，由＝及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝，∴a ＝,b ＝1．（2）由（1）知，上半椭圆C 1的方程为y 2＋2x 2＝2（y≥0）．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为x="my+1" （m≠0），并将其代入C 1的方程， 整理得（2m 2＋1）＋4my ＝0，故可解得点P 的坐标为，显然，m<0， 同理，将x="my+1" （m≠0）代入C 2的方程,整理得m 2y 2＋y+2my ＝0，得点Q 的坐标为．∵AP ⊥AQ ，∴=0，即8m 2 +2m ＝0，解得m ＝－，符合m<0，故直线l 的方程为4x+y －4＝0．考点：1、椭圆及其标准方程，离心率；2、抛物线；3、直线与圆锥曲线的位置关系． 【思路点晴】本题主要考查椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系，其中第一问求的值属于容易题，在求得点的坐标后，即可得出的值，再结合的关系容易求出的值；第二问求直线方程，主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于难题，由于过轴上一定，可设其方程为，以便于联立与消元，简化计算过程，从而可推出的坐标，再利用便可得出，进而求出直线的方程．22．（1）；（2）；（3） 证明见解析．【解析】试题分析：（1）由曲线恒与轴相切于坐标原点，知，得；（2）由（1）得出，再对两次求导，再对的不同取值情况，逐一讨论在上的取值符号，得出的单调情况，进而得出的取值符1b =1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()y f x =x (0)0f '=1b =()(1)ln(1)f x ax x x =-+-()f x a ()f x ''[]0,1()f x '()f x '号，从而得出的单调情况，并判断在上是否恒成立，最后综合以上讨论可得到；（3）先对要证明的不等式等价变形为：，根据不等式的结构特点可以先证明：对于任意的正整数，不等式恒成立．这样依据不等式 ，再令利用左边，令，利用右边，即可得到成立，从而问题得以证明．试题解析：（1），由，所以．（2）由（1）得，，． ①当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有；②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有； ③当时，令，当时，于是在上单调递减，从而，因()f x ()0f x ≥[]0,11(,]2a ∈-∞-2110000100010000.41000.55210001100111()()(1)(1)100001000100001000e e ++<<⇔+<<+n 215211(1)(1)n n e n n +++<<+215211(1)(1)n n e n n +++<<+10000n =1000n =10000.41000.5100011001()()100001000e <<1()ln(1)1axf x a x b x-'=-++-+(0)0f '=101b b -=⇒=()(1)ln(1)f x ax x x =-+-01x ≤≤1()ln(1)11axf x a x x-'=-++-+22(1)(1)21()1(1)(1)a a x ax ax a f x x x x -+--++''=-+=-+++12a ≤-01x ≤≤221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≥+()f x '[0,1]()(0)0f x f ''≥=()f x [0,1]()(0)0f x f ≥=(0)0f =0a ≥01x ≤≤221()0(1)ax a f x x ++''=-<+()f x '[0,1]()(0)0f x f ''≤=()f x [0,1]()(0)0f x f ≤=(0)0f =102a -<<21min{1,}a m a+=-0x m ≤≤221()()0(1)a a x a f x x ++''=-≤+()f x '[0,]m ()(0)0f x f ''≤=此在上单调递减，即而且仅有； 综上，符合题意的． （3）对要证明的不等式等价变形如下：所以可以考虑证明：对于任意的正整数，不等式恒成立．并且继续作如下等价变形对于相当于（2）中，情形，有在上单调递减，即而且仅有．取，当时，成立； 当时，．从而对于任意正整数都有成立．对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有．取，得：对于任意正整数都有成立．因此对于任意正整数，不等式恒成立． 这样依据不等式 ，再令利用左边，令 利用右边，即可得到成立．考点：1、复合函数的求导及导数的几何意义；2、导数在函数研究中的应用；3、构造函数()f x [0,]m ()(0)0f x f ≤=(0)0f =1(,]2a ∈-∞-2110000100010000.41000.55210001100111()()(1)(1)100001000100001000e e ++<<⇔+<<+n 215211(1)(1)n n e n n +++<<+2152112111(1)(1)()ln(1)1()ln(1)52n n e n n n n n n+++<<+⇔++<<++211(1)ln(1)0()5111(1)ln(1)0()2p n n n q n n n ⎧++-<⎪⎪⇔⎨⎪++->⎪⎩()p 21(,0)52a =-∈-12m =()f x 1[0,]2()(0)0f x f ≤=(0)0f =1x n =2n ≥211(1)ln(1)05n n n++-<1n =277(1)ln 21ln 210.710555+-=-<⨯-<n 211(1)ln(1)05n n n ++-<()q 12a =-x ∈[0,1]()0f x ≥(0)0f =1x n =n 111(1)ln(1)02n n n++->n 215211(1)(1)n n e n n+++<<+215211(1)(1)n n e n n +++<<+10000n =1000n =10000.41000.5100011001()()100001000e <<法在不等式证明中的应用；4、分类讨论思想以及等价转化思想方法的应用．【方法点晴】本题主要考查导数在函数研究中的应用，属于难度较大的题目．其中第一小题根据题意由导数的几何意义利用，即可直接求出，属于中等难度；第二小题充分体现了导数在函数研究中的应用以及分类讨论的思想方法，其中导数法在判定函数单调性方面是一个很有效的手段，而分类讨论的思想方法则体现了数学的严密性与完备性；第三小题充分体现了等价转化的思想方法，并在构造函数的基础上，体现了特殊与一般的思想方法，属于数学中的高难度问题．(0)0f '=1b =。