§4逻辑联结词“且”“或”“非”4．1逻辑联结词“且”4．2逻辑联结词“或”4．3逻辑联结词“非”●三维目标1．知识与技能(1)理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．(2)会判断含有逻辑联结词的命题的真假．2．过程与方法通过对逻辑联结词“且”“或”“非”的学习，让学生会用这些逻辑联结词准确地表达相关数学内容．3．情感、态度与价值观能够运用逻辑联结词分析数学和日常生活中的问题，增强思维的敏锐性、准确性．●重点难点重点：逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．难点：含有逻辑联结词“且”“或”“非”的命题真假的判断．由于逻辑联结词是逻辑知识的基础，也是学生能否掌握和判断一个事物并形成正确的逻辑思维能力的关键，所以逻辑联结词“或”“且”“非”的含义以及含有逻辑联结词的复合命题的理解和应用应是本节的重点，也是本节的难点．为了突出重点，突破难点，在教学上可采取以下的措施：(1)从学生已有的知识出发，精心设置一组例子，逐步引导学生观察、探讨、联想，归纳出逻辑联结词的含义，从中体会逻辑的思想．(2)通过简单命题与复合命题的对比，明确它们存在的区别和联系，加深对复合命题构成的理解，抓住其本质特点．(教师用书独具)●教学建议依据现有学生的年龄特点和心理特征，结合他们的认识水平，在遵循启发式教学原则的基础上，在本节采用发现法为主、讲解法为辅的教学方法，意在通过教师的引导，调动学生学习知识的积极性，从而培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力．为此，在教学活动中，通过列举两组例子，让学生观察，找出两组例子的区别和联系，从中发现问题，并通过简单的指导，启发学生与已有的知识做模拟，来加深对理性知识的理解．现代教学理论认为，教师的“教”不仅要让学生“学会知识”，更重要的是让学生“会学知识”，而正确的学法指导是培养学生这种能力的关键、因此在本节的教学中，教师指导学生运用观察、分析讨论、模拟归纳等手段来进行本节课的学习，实现对知识的理解和应用．●教学流程从分析命题中的联结词，引入课题――→探究发现从集合角度认识逻辑联结词的数学意义――→应用通过例题，探究简单命题的复合，深化对逻辑联结词的认识――→探究发现含有逻辑联结词的命题的真假判断方法―→反馈矫正―→归纳总结在A ∩B 的定义中，“且”的含义是什么？【提示】 “且”是指“x ∈A ”与“x ∈B ”这两个条件都要满足．用“且”联结两个命题p 和q ，构成一个新命题“p 且q ”．当两个命题p 和q 都是真命题时，新命题“p 且q ”是真命题；在两个命题p 和q 之中，只要有一个命题是假命题，新命题“p 且q ”就是假命题．在A ∪B 的定义中，“或”的含义是什么？与生活中的“或”含义相同吗？【提示】“或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个是成立的．二者含义不同，生活中的“或”表示“不兼有”，而数学中的“或”表示“可兼有”．用“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p或q”．在两个命题p和q之中，只要有一个命题是真命题时，新命题“p或q”就是真命题；当两个命题p和q都是假命题时，新命题“p或q”是假命题．若命题p对应集合P，则命题非p对应的集合是什么？【提示】∁U P.对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”．在命题和它的非命题中，有且只有一个是真命题.分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的新命题．(1)p：2是无理数，q：2大于1；(2)p：x2＋1＞2x，q：x2＋1＜2x.【思路探究】(1)“p且q”形式的命题怎样用更简捷的形式表达？(2)“x2＋1”与“2x”的大小关系有几种？【自主解答】(1)“p或q”：2是无理数或大于1；“p且q”：2是无理数且大于1；“綈p”：2不是无理数．(2)“p或q”：x2＋1≠2x；“p且q”：x2＋1＞2x且x2＋1＜2x；“綈p”：x2＋1≤2x.命题的否定与命题的否命题的区别：在一次模拟射击游戏中，小李连续射击了两次．设命题p1：“第一次射击中靶”，p2：“第二次射击中靶”，试用p1，p2及逻辑联结词“且”、“或”、“非”表示下列命题：(1)两次射击均中靶；(2)两次射击均未中靶；(3)两次射击恰好有一次中靶；(4)两次射击至少有一次中靶．【解】(1)p1且p2.(2)綈p1或綈p2.(3)“綈p1且p2”或“p1且綈p2”．(4)p1或p2.已知p：∅{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p且q”，“p或q”中，真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个【思路探究】先判断p、q的真假，然后根据真值表判断新命题的真假．【自主解答】∵p是真命题，q是假命题．∴命题“綈q”，“p或q”是真命题．【答案】 B含有逻辑联结词的命题真假的判定步骤：(1)确定它的构成形式；(2)判断其中简单命题的真假；(3)根据真值表判断含有逻辑联结词的命题的真假．若命题“綈p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是________命题．【解析】∵命题“綈p”是真命题∴p是假命题．又命题“p或q”是真命题∴q是真命题．【答案】真已知命题p：对任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．【思路探究】判断p、qp真的真假――→,q真a的范围a的范围a的范围【自主解答】由“p且q”是真命题，知：p，q均为真命题．若p为真命题，则a≤x2恒成立，∵x∈[1,2]，∴a≤1.若q为真命题，则方程x2＋2ax＋2－a有实根，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2，综上，所求实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}．1．正确理解“且”“或”“非”的含义是解此题的关键．由p且q为假知p，q中至少一假，由p或q为真知p，q至少一真．2．充分利用集合的“交、并、补”与“且、或、非”的对应关系理解题意，特别注意“p假”时，可利用补集思想，求“p真”时a的集合的补集．已知命题p：对任意x∈[1,2]，x2－a≥0.命题q：存在x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1＜0.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．【解】∵对任意x∈[1,2]，x2－a≥0恒成立，即a≤x2恒成立，∴a≤1.即p∶a≤1，∴綈p∶a＞1.又存在x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1＜0.∴Δ＝(a－1)2－4＞0，∴a＞3或a＜－1，即q∶a＞3或a＜－1，∴綈q∶－1≤a≤3.又p或q为真，p且q为假，∴p真q假或p假q真．当p真q假时，{a|a≤1}∩{a|－1≤a≤3}＝{a|－1≤a≤1}．当p假q真时，{a|a＞1}∩{a|a＜－1或a＞3}＝{a|a＞3}．综上所述，a的取值范围为{a|－1≤a≤1}∪{a|a＞3}.将命题的否定与否命题混淆致误命题“若a＞b且b＞c，则a＞c”的否定是() A．若a＞b且b＞c，则a≤cB．若a＞b且b＞c，则a＜cC．若a≤b或b≤c，则a≤cD．若a≤b或b≤c，则a＜c【错解】由于a＞b且b＞c的否定是a≤b或b≤c，a＞c的否定是a≤c.根据命题否定的定义，应选C.【答案】 C【错因分析】将命题的否定与否命题混淆致误．【防范措施】弄清命题的否定与否命题的区别，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，否定是“若p，则綈q”．【正解】由于a＞c的否定是a≤c，根据命题的否定的定义知应选A.【答案】 A1．根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的新命题的真假时，要掌握其真假与简单命题真假关系的规律．2．理解“且”“或”“非”与集合的“交”“并”“补”之间的关系．建立命题“运算”和集合运算的关系，有利于从集合的角度进一步认识有关逻辑联结词的意义．3．判断一个命题是简单命题还是由简单命题构成的新命题(复合命题)时，不能只从字面上看是否含有“且”“或”“非”字样，需要掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“且”“或”“非”的关系．如“或者”“x＝±1”“≤”的含义为“或”；“并且”“綊”的含义为“且”；“不是”“≠”的含义为“非”．4．逻辑联结词“或”“且”“非”的意义与日常生活中的“或”“且”“非”的含义不同，应注意其区别.1．命题“菱形的对角线互相垂直平分”使用逻辑联结词的情况是( ) A ．没有使用逻辑联结词 B ．使用了逻辑联结词“且” C ．使用了逻辑联结词“或” D ．使用了逻辑联结词“非”【解析】 该命题即为“菱形的对角线互相垂直且互相平分”，故该命题使用了逻辑联结词“且”．【答案】 B2．“xy ≠0”是指( ) A ．x ≠0且y ≠0B ．x ≠0或y ≠0C ．x 、y 至少有一个不为0D ．x 、y 不都是0 【解析】 xy ≠0⇔x ≠0且y ≠0，故选A. 【答案】 A3．命题p ：0不是自然数，命题q ：2是无理数，则在命题“p 且q ”“p 或q ”“非p ”“非q ”中，真命题是________，假命题是________．【解析】 命题p 是假命题，命题q 是真命题，故命题“p 且q ”是假命题，“p 或q ”是真命题，“非p ”是真命题，“非q ”是假命题．【答案】 “p 或q ”“非p ” “p 且q ”“非q ”4．已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，命题q ：不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋1＜0对任意的实数x 恒成立．若“p 或q ”为假，求实数m 的取值范围．【解】 由于方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实根，所以m 2－4＞0，∴m ＜－2或m ＞2.又不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋1＜0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，4(m ＋1)2－4m (m ＋1)＜0.∴m ＜－1.∵“p 或q ”为假，∴p ，q 都为假．由⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2，m ≥－1，得－1≤m ≤2. 所以实数m 的取值范围为{m |－1≤m ≤2}.一、选择题1．已知原命题是“若r ，则p 或q ”，则这一命题的否命题是( ) A ．若綈r ，则p 且q B ．若綈r ，则綈p 或綈qC ．若綈r ，则綈p 且綈qD ．若綈r ，则綈p 且q【解析】 “p 或q ”的否定为“綈p 且綈q ”．根据否命题的定义知：选项C 正确． 【答案】 C2．(2013·湖北八校联考)若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A ．p 或q 是假命题 B ．p 且綈q 是假命题 C ．綈p 或綈q 是真命题 D ．綈p 且q 是真命题 【解析】 由真值表知：选项C 正确． 【答案】 C3．(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q【解析】 依题意得綈p ：甲没有降落在指定范围，綈q ：乙没有降落在指定范围，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p )∨(綈q )．【答案】 A4．如果命题“綈(p 或q )”是假命题，则下列命题中正确的是( ) A ．p 、q 均为真命题B ．p 、q 中至少有一个为真命题C ．p 、q 均为假命题D ．p 、q 中至多有一个为真命题【解析】 由“綈(p 或q )”是假命题，知：命题“p 或q ”为真，所以p 、q 中至少有一个为真命题．【答案】 B5．已知命题p ：存在x 0∈(0，π2)，使sin x 0＋cos x 0＜1，命题q ：对任意x ∈(－∞，0)，2x ＞3x .则下列命题为真的是( )A ．p 且qB ．p 或(綈q )C ．p 且(綈q )D ．(綈p )且q【解析】 p 假，q 真，由真值表，易知(綈p )且q 为真．故应选D ． 【答案】 D 二、填空题6．分别用“p 且q ”“p 或q ”“非p ”填空 (1)命题“2既是偶数又是质数”是________的形式． (2)命题“±1是方程x 2－1＝0的解”是________的形式． (3)命题“－1≠1”是________的形式． 【解析】 用含逻辑联结词的定义求解． 【答案】 p 且q p 或q 非p7．已知命题p ：若x ＞y ，则x 2＞y 2，命题q ：若x ＞y ，则x 3＞y 3.给出下列命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题是________．【解析】 命题p 是假命题，命题q 是真命题，由真值表可知②③为真命题． 【答案】 ②③8．已知命题p ：对任意x ＞1，x ＋1x －1≥a ，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由题意，存在x ＞1，使x ＋1x －1＜a ，又∵x ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1≥2(x －1)·1x －1＋1＝3，∴a ＞3.【答案】 (3，＋∞) 三、解答题9．写出下列各命题的否定．(1)平行四边形中至少有一组对边平行；(2)若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ；(3)若x 2－x －2≠0，则x ≠－1且x ≠2；(4)若a ＜1，则方程x 2－2x ＋a ＝0至多有一解．【解】 (1)命题的否定：平行四边形的两组对边都不平行；(2)命题的否定：若A ∪B ＝B ，则A B ；(3)命题的否定：若x 2－x －2≠0，则x ＝－1或x ＝2；(4)命题的否定：若a ＜1，则方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不等的实数解．10．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，且“p (1)且p (2)”是假命题，“綈p (2)”是假命题，求实数m 的取值范围．【解】 p (1)：3－m ＞0，即m ＜3.p (2)：8－m ＞0，即m ＜8.由已知得：p (1)是假命题，p (2)是真命题，∴3≤m ＜8.故m 的取值范围是[3,8)11．已知命题p ：c 2＜c 和命题q ：对任意x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0恒成立，已知p 或q 为真，p 且q 为假，求实数c 的取值范围．【解】 由不等式c 2＜c ，得0＜c ＜1，即命题p ：0＜c ＜1，所以命题非p ：c ≤0或c ≥1，又由(4c )2－4＜0，得－12＜c ＜12， 所以命题q ：－12＜c ＜12， 所以命题非q ：c ≤－12或c ≥12， 由题知：p 和q 必有一个为真，一个为假．当p 真q 假时，12≤c ＜1；当q 真p 假时，－12＜c ≤0， 故c 的取值范围是(－12，0]∪[12，1).(教师用书独具)写出下列语句的否定：(1)a ＞0且b ＞0；(2)a ＞0或b ＞0；(3)x ＝±1.【思路探究】 利用否定的数学意义进行否定．【自主解答】 (1)a ≤0或b ≤0；(2)a ≤0且b ≤0；(3)x ≠1且x ≠－1.1．“p 且q ”的否定是“綈p 或綈q ”，“p 或q ”的否定是“綈p 且綈q ”．2．下面是一些常用词语和它的否定：写出下列语句的否定：(1)a 、b 、c 都是正数；(2)x 1，x 2，…，x 10中，至少有5个数大于0.【解】 (1)a 、b 、c 不都是正数；(2)x 1，x 2，…，x 10中，至多有4个数大于0.。