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信号与系统作业作业1(第二章)答案

第二章 作业答案
2–1 已知描述某LTI 连续系统的微分方程和系统的初始状态如下,试求此系统的零输入响应。

(1))()(2)(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+''
2)0(=-y ,1)0(-='-y
解:
根据微分方程,可知特征方程为:
0)2)(1(0232=++⇒=++λλλλ
所以,其特征根为: 1,
221-=-=λλ
所以,零输入响应可设为:0)(221≥+=--t e C e C t y t
t
zi
又因为 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨
⎧-=--='=+=--31
12)0(2)0(2
1
2121C C C C y C C y 所以,03)(2≥-=--t e
e t y t
t zi
(2))(2)()(6)(5)(t e t e t y t y t y -'=+'+''
1)0()0(=='--y y 。

解:
根据微分方程,可知特征方程为:
0)3)(2(0652=++⇒=++λλλλ
所以,其特征根为: 3,
221-=-=λλ
所以,零输入响应可设为:0)(3221≥+=--t e C e
C t y t
t
zi
又因为 ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨
⎧=--='=+=--3
4
132)0(1)0(21
2121C C C C y C C y 所以,034)(32≥-=--t e
e t y t
t zi
2–2 某LTI 连续系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 已知1)0(=-y ,2)0(='-y ,试求: (1) 系统的零输入响应)(t y zi ;
(2) 输入)()(t t e ε=时,系统的零状态响应)(t y zs 和全响应)(t y 。

解:
(1)根据微分方程,可知特征方程为:
0)2)(1(0232=++⇒=++λλλλ
所以,其特征根为: 1,
221-=-=λλ
所以,零输入响应可设为:0)(221≥+=--t e C e C t y t
t
zi
又因为 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨
⎧=--='=+=--43
22)0(1)0(2
12121C C C C y C C y
所以,034)(2≥-=--t e e
t y t
t
zi
(2) 可设零状态响应为:0)(221>++=--t p
e C e
C t y t x t
x zs
其中p 为特解,由激励信号和系统方程确定。

因为)()(t t e ε= 所以,p 为常数,根据系统方程可知,23=p 。

于是,零状态响应可设为为:02
3)(221>++=--t e C e C t y t x t x zs
将上式代入原方程中,比较方程两边的系数,可得到
⎪⎩⎪⎨⎧-==
2
2121C C 所以,02322
1)(2>+-=
--t e e t y t t
zs
全响应为 )()()(t y t y t y zs zi +=
0)
23221
()34()(22>+-+-=----t e e e e t y t t t t zs
0)
232
5
2()(2>+-=--t e e t y t t zs
2–3 试求下列各LTI 系统的冲激响应和阶跃响应。

(1))(2)()(3)(4)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 解:
根据 在激励信号为)(t δ的条件下,求解系统的零状态响应可得
()
)(2
1)(3t e e t h t t
ε⋅+=
-- 因为,单位阶跃响应⎰-
⋅=t
d h t g 0)()(ττ
所以,()

-⋅+=--t
d e e t g 032
1)(τττ
0),1(6
1
)1(216
12
16030>-+-=
--=-----
-
t e e e e t t t t ττ
0,6
121326>--=
--t e e t
t
(2))(2)(2)()(2)(3)("t e t e t e t y t y t y +'+''=+'+ 解:
可先求系统 )()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+ 的冲激励响应)(0t h ,
则,原系统的冲激响应为)(2)(2)()(0'0"0
t h t h t h t h ++=。

因为)()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+的特征根为:1,221-=-=λλ 所以,可设冲激响应为:)()()(2210t e C e C t h t t ε⋅+=-- 将)(0t h 代入系统方程,并确定待定系数后,可得:
)()()(20t e e t h t t ε⋅-=--
因为,)(2)(2)()(0'
0"0
t h t h t h t h ++= 又因为,)()2()(2'0
t e e t h t t ε⋅-=--,)()4()()(2"0t e e t t h t t εδ⋅--=-- 所以,
[]
)()(2)()2(2)()4()()(222t e e t e e t e e t t h t t t t t t εεεδ⋅-⋅+⋅-⋅+⋅--=------
)()2()(2t e e t t t εδ⋅--=--
因为,单位阶跃响应⎰-
⋅=t
d h t g 0)()(ττ
所以,[]
⎰-
⋅--=--t
t t d t e e t t g 02)()(2)()(τεδ
()
)(212t e e t t ε⋅-+=--
2–4 各信号的波形如题2–4图所示,试计算下列卷积,并画出其波形。

(1))()(21t f t f * (2))()(31t f t f * (3))()(24t f t f *
(4))()(34t f t f *
题2–4 图
解:
根据 )()()(00t t f t t t f -=-*δ,可方便地得到此题的卷积结果。

(1)
(2)
(3)
(4)
2–5 已知某LTI 连续系统的冲激响应)(t h 和各激励信号)(t e 的波形如题2–5图所示,试求此系统对激励信号的零状态响应。

题2–5图
解:
因为,)()()(t h t e t y zs *=
所以,[][])2()()2()()(--*--=t t t t t y zs εεεε
)2()2()2()()()2()()(-*-+-*-*--*=t t t t t t t t εεεεεεεε )4()4()2()2(2)(--+---=t t t t t t εεε
2–6 题2–6图所示系统是由几个子系统组合而成的,各子系统的冲激响应分别为
)()(1t t h ε=,)1()(2-=t t h δ,)1()(3-=t t h ε
试求总系统的冲激响应)(t h 并画出其波形。

题2–6图
解: 根据系统框图,可得: [])()()()()(1321t h t h t h t h t h **+=
[])()1()1()(t t t t εεδε*-*--= [])()2()(t t t εεε*--=
)2()2()(-⋅--=t t t t εε
此系统的单位冲激响应的波形为:
2–7 题2–7图所示系统是由几个子系统组合而成,各子系统的冲激响应分别为
)1()(1-=t t h δ,)3()1()(2---=t t t h εε
试求总系统的冲激响应)(t h 并画出其波形。

题2–7图
解:根据系统框图,可得:
[])()()()()()(2111t h t h t h t h t t h **++=δ
[][])3()1()1()1()1()(---*-*-+-+=t t t t t t εεδδδδ [][])3()1()2()1()(---*-+-+=t t t t t εεδδδ
[][][])5()3()4()2()3()1(---+---+---=t t t t t t εεεεεε
)5()4()2()1(-----+-=t t t t εεεε 此系统的单位冲激响应的波形为:。

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