2018届高中数学·二模汇编 数列一、填空题1、设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.2、已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则=∞→2limnnn a S ______ 3、21lim1n n n →+∞+=-________ .4、已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34,a =48a =-，则5S = _____5、已知函数2()57f x x x =-+.若对于任意的正整数n ，在区间51,n n⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上存在1m +个实数012,,,,m a a a a L 使得012()()()()m f a f a f a f a >+++L 成立，则m 的最大值为________ 6、计算：=+∞→142limn nn7、计算：1111lim[()]2482n n →∞+++⋯+= 8、若{}n a 为等比数列，0n a >，且201822a =，则2017201912a a +的最小值为9、无穷等比数列{}n a 的通项公式()nn x a sin =，前n 项的和为n S ，若lim 1n n S →∞=，()π,0∈x 则x = 10、已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则q = ______ 11、函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<<<且[]12,,,0,8n x x x π∈（10n ≥）， 记1223341()()()()()()()()n n M f x f x f x f x f x f x f x f x -=-+-+-++-，则M 的最大值等于12、已知函数()()θ-=x x f 2sin 5，⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ，[]π5,0∈x ，若函数()()3-=x f x F 的所有零点依次记为n x x x x ,,,,321 ，且n n x x x x x <<<<<-1321 ，*N n ∈若π283222212321=++++++--n n n x x x x x x ，则=θ13、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若n n a lim a a a 245()→∞=+++L ，则q =14、已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n ∈N ，{}n a 的前n 项和为n S ，则lim nn nS n a →∞=⋅ .15、设*n ∈N ，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ， 1222555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦([]x 表示不超过实数x 的最大整数).则22()()n n t b c -++的最小值为 .16、在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = 17、已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-，若1224,51,0k a a a ===， 则k =二、选择题：18、已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且0lg lg 20191=+a a ，若()212xx f +=，则()()()=+++201921a f a f a f （ ） A ．2018 B ．4036C ．2019D ．403819、若已知极限sin lim0n n n →∞=，则3sin lim sin 2n n nn n→∞--的值为 （ ）（A ）3-（B ）32-（C ）1-（D ）12-20、若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为12，且a S n n =∞→lim ，(n ∈*N )，则复数ia z +=1（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）（A ）第一象限． （B ）第二象限． （C ）第三象限． （D ）第四象限．21、在计算机语言中，有一种函数)(x INT y =叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示y 等于不超过x 的最大整数，如0)9.0(=INT ，3)14.3(=INT ．已知⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n INT a 1072，11a b =，110--=n n n a a b （*N ∈n 且2≥n ），则2018b 等于 （ ）（A ）2 （B ）5 （C ）7 （D ）822、已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n na a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是 （ ）.A 不存在．．．a 和n 使得2015n S = .B 不存在．．．a 和n 使得2016n S = .C 不存在．．．a 和n 使得2017n S = .D 不存在．．．a 和n 使得2018n S =23、设n S 是无穷等差数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈），则“lim n n S →∞存在”是“该数列公差0d =”的 （ ）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件三、解答题：24、已知数列{a n }满足：a 1=2，a n +1=12a n +2． (1) 证明：数列{a n –4}是等比数列； (2) 求使不等式123n n a m a m +-<-成立的所有正整数m 、n 的值；(3) 如果常数0 < t < 3，对于任意的正整数k ，都有12k k a ta t+-<-成立，求t 的取值范围．25、已知数列{}n a 中11a =，前n 项和为n S ，若对任意的N*n ∈，均有n n k S a k +=-（k 是常数，且N*k ∈）成立，则称数列{}n a 为“()H k 数列”；（1）若数列{}n a 为“()1H 数列”，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若数列{}n a 为“()2H 数列”，且2a 为整数，试问：是否存在这样的数列{}n a ，使得21140n n n a a a -+-≤对一切2N n n *≥∈，恒成立？如果存在，求出这样数列{}n a 的2a 的所有可能值；如果不存在，请说明理由；（3）若数列{}n a 为“()H k 数列”，且121k a a a ====L ，证明：当21n k ≥+时，21112n kn k k a -+-⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭.26、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若*112()2n nan N a +∈≤≤，则称{}n a 是“紧密数列”．（1）已知数列{}n a 是“紧密数列”，其前5项依次为39811,,,,2416x ，求x 的取值范围； （2）若数列{}n a 的前n 项和为2*1(3)()4n S n n n N =+∈，判断{}n a 是否是“紧密数列”，并说明理由； （3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列．若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围．27、给定数列{}n a ，若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.（1）已知数列{}n a 的通项公式为3nn a =，试判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列{}n a 满足122++=+n n n a a a 且212=-a a ，设n S 是该数列{}n a 的前n 项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818n S S S <+++<，若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由；（3）证明等差数列{}n a 成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1a md =．28．．、．平面内．．．的“向量列”{}n a ，如果对于任意的正整数n ，均有1n n a a d +-=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d 称为“公差向量”.平面内的“向量列”{}n b ，如果01≠b 且对于任意的正整数n ，均有1n n b q b +=⋅（0q ≠），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数q 称为“公比”.（1）如果“向量列”{}n a 是“等差向量列”，用1a 和“公差向量”d 表示12n a a a +++；（2）已知{}n a 是“等差向量列”，“公差向量”(3,0)d =，1(1,1)a =，(,)n n n a x y =；{}n b 是“等比向量列”，“公比”2q =，1(1,3)b =，(,)n n n b m k =.求1122n n a b a b a b ⋅+⋅++⋅．29、无穷数列{}n a *()n ∈N ，若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T .集合{}*,n P p p a n ==∈N .（1）若(1)n n a =-，*n ∈N ，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且1481,3,2,{1,2,3}a a a P ====，求20a 的值；（3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-*()k ∈N ，证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.30、已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足*11()12n n A A n N n n +-=∈+，且11a =，数列{}n b 满足*2120()n n n b b b n N ++-+=∈，32b =，其前9项和为36．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1122334455,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b ⋅⋅⋅，求该数列的前n 项和n S ； (3)设1n n nc a b =+，对于任意给定的正整数()2k k ≥，是否存在正整数,()l m k l m <<，使得,,k l m c c c 成等差数列？若存在，求出,l m (用k 表示)；若不存在，请说明理由．31、若数列{}n a 同时满足条件：①存在互异的*,N p q ∈使得p q a a c ==（c 为常数）；②当n p ≠且n q ≠时，对任意*N n ∈都有n a c >，则称数列{}n a 为双底数列.（1）判断以下数列{}n a 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）； ①6n a n n=+； ②sin 2n n a π=； ③()()35n a n n =--（2）设501012,1502,50n n n n a m n --≤≤⎧=⎨+>⎩，若数列{}n a 是双底数列，求实数m 的值以及数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）设()9310nn a kn ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，是否存在整数k ，使得数列{}n a 为双底数列？若存在，求出所有的k 的值；若不存在，请说明理由.32、已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2≥n ，n *∈N ，λ，μ∈R .(1) 若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和； (2) 若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.33、对于任意*n N ∈，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“K 数列”．（1）已知数列：1，1+m ，2m 是“K 数列”，求实数m 的取值范围；（2）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，当首项1a 与公差d 满足什么条件时，数列{}n S 是“K 数列”？ （3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且11232n n S S a +-=，*n N ∈．设()11+-+=n nn n a a c λ，是否存在实数λ，使得数列{}n c 为“K 数列”．若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．34、设()()k t f x ，kx tx+=（这里k ，t ，x R ∈，且0x ≠）． （1）若(12)(22)(13)(1)()(3)f f x f ，，，，，成等差数列，求x 的值；（2）已知(01)1()n f x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，（n N *∈）是公比为32的等比数列，x x N 15*∈，，是否存在正整 数u ，使得41x u ≥，且45(1)x u ≤+？若存在，试求出u 的值，若不存在，请说明理由；（3）如果存在正常数M ，使得n y M ≤对一切n N *∈成立，那么称数列{}n y 有界.已知0a >，m 为正偶数，数列{}n x 满足10x b =<，且1()1()n b a mnx f x +=，（n N *∈），证明：数列{}n x 有界的充要条件是120m ab-+≥.35、定义：若数列{}n c 和{}n d 满足*1220,0,N n n n n n nnc d c d n c d++>>=∈+且c ，，则称数列{}n d 是数列{}n c 的“伴随数列”.已知数列{}n b 是数列{}n a 的伴随数列，试解答下列问题： (1)若*(N )nn b a n =∈，12b =，求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若*11(N )n n n b b n a +=+∈，11b a 为常数，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列； (3)若*12(N )nn nb b n a +=∈，数列{}n a 是等比数列，求11a b 、的数值．36、已知数列}{n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2)1(4+=n n a S ．数列}{n b 满足21=b ，42=b ，且等式112+-=n n n b b b 对任意2≥n 成立．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）将数列}{n a 与}{n b 的项相间排列构成新数列1a ，1b ，2a ，2b ，…，n a ，n b ，…，设该新数列为}{n c ，求数列}{n c 的通项公式和前n 2项的和n T 2．（3）对于（2）中的数列}{n c 的前n 项和n T ，若n n c T ⋅≥λ对任意*N ∈n 都成立，求实数λ的取值范围．。