6.1平面向量的概念导学案【学习目标】1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．【自主学习】知识点1 向量既有大小，又有方向的量叫做向量．知识点2 向量的几何表示以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.知识点3 向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0.(2)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．(3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于向量b ，记作a ∥b .②规定：零向量与任一向量平行．【合作探究】探究一向量的概念【例1】判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；(5)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．[分析]解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假．[解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．(3)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．(5)正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．归纳总结：1判断一个量是否为向量，应从两个方面入手：①是否有大小，①是否有方向.2注意两个特殊向量：零向量和单位向量.3注意平行向量与共线向量的含义.【练习1-1】下列物理量中不是向量的有()①质量；①速度；①力；①加速度；①路程；①密度；①功；①电流强度．A．5个B．4个C．3个D．2个解析：(1)看一个量是否为向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向，特别是方向的要求，对各量从物理本身的意义作出判断，①①①既有大小也有方向，是向量，①①①①①只有大小没有方向，不是向量．【练习1-2】在下列命题中，真命题为( )A ．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B ．向量AB →与向量BA →的长度相等C ．向量就是有向线段D ．零向量是没有方向的解析：(2)由于单位向量的方向不一定相同，故其终点不一定相同，故A 错误；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非没有方向，故D 错误；有向线段是向量的形象表示，但并非说向量就是有向线段，故C 错误，故选B.探究二 向量的几何表示【例2】一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|.解(1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.归纳总结：1用向量表示的几何问题，要研究其图形的几何特性，然后作出解答. 2作向量时，关键是找出向量的起点和终点，如果已知起点，先确定向量的方向，然后根据向量的长度找出终点.【练习2】在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？ 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．探究三 相等向量和共线向量【例3】如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点， 所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.归纳总结：1.共线向量和相等向量有何关系？共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.2.如何利用向量相等或共线证明线段相等、平行问题？①证明线段相等，只要证明相应的向量长度模相等.①证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线.【练习3】如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中所示向量与OA →、OB →、OC→相等的向量．解 OA →＝CB →＝DO →；OB →＝DC →＝EO →；OC →＝AB →＝ED →＝FO →.课后作业A 组 基础题一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案 C解析 ②③④⑤是向量．2．下列说法中正确的个数是( )①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D3．给出下列三个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形．其中不正确的命题的个数为( )A ．2个B ．3个C ．0个D ．1个答案 B4．下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小答案 D解析 A 中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，所以A 不正确；由A 的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，所以B 不正确；C 中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，所以C 不正确；D 中向量的模是一个数量，可以比较大小，所以D 正确．5．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →.6．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( )A ．相等的向量B ．平行的向量C ．有相同起点的向量D ．模相等的向量答案 D解析 这四个向量的模相等．7．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1，其中正确的是( )A ．①④B ．③C ．①②③D ．②③答案 B解析 a 为任一非零向量，故|a |＞0.8.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →答案 D解析 由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同，∴EP →＝PF →.二、填空题9．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，则图中所示向量中是共线向量的有____________________．答案 ED →与CB →，AD →与BD →，AE →与CE →解析 观察图形，并结合共线向量的定义可得解．10．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________．答案 梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．三、解答题11.如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB .又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →.12．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →.(2)求AD →的模．解 (1)作出向量AB →，BC →，CD →如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD 是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋(10)2＝55(米)．所以|AD →|＝55米．13.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →；(2)求B 地相对于A 地的位置向量．解(1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．B 组 能力提升一、选择题1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若0a λ=（λ为实数），则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线，其中错误命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】对于①，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，∴①错误；对于②，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，但它们的模能比较大小，∴②正确；对于③，0a λ=时(λ为实数），0λ=或0a =，∴③错误；对于④，若0λμ==时，0a b λμ==，此时a 与b 不一定共线，∴④错误；综上，其中错误命题为①③④，共3个．故选：C ．2.有下列命题：①若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =；③若m n =，n k =，则m k =；④零向量都相等.其中假命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题； 对于②，在平行四边形ABCD 中，,C AB D 是大小相等，方向相反的向量，即AB CD =-，故②是假命题；对于③，显然若m n =，n k =，则m k =，故③是真命题；对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题. 故选：C.3.下列命题中正确的是( )A ．若||a b |=|，则a b =B ．若a b ≠，则a b ≠C ．若||a b |=|，则a 与b 可能共线D ．若a b ≠，则a 一定不与b 共线 【答案】C【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A 错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C 正确，D 错误.故选：C 4.给出下列四个命题： ①若a b =，则a b =；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB DC =”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a b =，b c =，则a c =；④a b =的充要条件是a b =且//a b .其中正确命题的序号是( )A ．②③B ．①②C ．③④D ．②④【答案】A【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB DC =，∴AB DC =且//AB DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB DC =，//AB DC 且,AB DC 方向相同，因此AB DC =.③正确.∵a b =，∴,a b 的长度相等且方向相同，又b c =，∴,b c 的长度相等且方向相同，∴,a c 的长度相等且方向相同，故a c =.④不正确.当//a b 且方向相反时，即使a b =，也不能得到a b =，故a b =且//a b 不是a b =的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是②③.故选：A.二、填空题5．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________. 答案 23解析 易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝2 3.三、解答题6.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．解 由题意知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →.∵集合中元素具有互异性，∴集合T 中的元素共有12个．。