多元复合函数求导
（一）
证一元函数求导法则：
一元函数的链式法则
链式法则
()()(())=()y f u u x y f x y x ϕϕ==−−−→=复合
，()()dy dy du f u x dx du dx
ϕ''==dy
du du dx
y u x −−→−−→
多元函数的复合情况要复杂一些（一）多元与多元的复合
（二）多元与一元的复合
（三）一元与多元的复合
证链式法则（多元套多元）
如果),(y x u φ=及),(y x v ψ=都在点
),(y x 具有对x 和y 的偏导数，且函数)
,(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数
)],(),,([y x y x f z ψφ=在对应点),(y x 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
x
v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂.
u
v x
z y
链式法则如图示
=∂∂x z ⋅∂∂u z x u ∂∂⋅∂∂+v z ,x
v ∂∂=∂∂y z ⋅∂∂u z y u ∂∂⋅∂∂+v z .y
v ∂∂
类似地再推广，设),(y x u φ=、),(y x v ψ=、),(y x w w =都在点 ),(y x 具有对x 和y 的偏导数，复合函数)],(),,(),,([y x w y x y x f z ψφ= 在对应点),(y x 的两个偏导数存在，且可用下列公式计算 x
w w z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂, y w w z y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. z w v u y
x
特殊地),,(y x u f z =),(y x u φ=即],,),,([y x y x f z φ=,x f x u u f x z ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.y f y u u f y z ∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂令,x v =,
y w =其中,1=∂∂x v ,0=∂∂x w ,0=∂∂y v .1=∂∂y
w 把复合函数],),,([y x y x f z φ=中的y 看作不变而对x 的偏导数把),,(y x u f z =中的u 及y 看作不变而对x 的偏导数
两者的区别区别类似
例 设v e z u
sin =，而xy u =，y x v +=， 求 x z ∂∂和y
z ∂∂. 解=∂∂x z ⋅∂∂u z x u ∂∂⋅∂∂+v z x
v ∂∂1cos sin ⋅+⋅=v e y v e u u ),cos sin (v v y e u
+==∂∂y z ⋅∂∂u z y u ∂∂⋅∂∂+v z y
v ∂∂1cos sin ⋅+⋅=v e x v e u u ).cos sin (v v x e u +=
三、小结
链式法则（多元套多元）。