***大学2014 届本科毕业论文论文题目：行列式的计算及应用学生姓名：***所在院系：数学科学学院所学专业：数学与应用数学（金融方向）导师姓名：***完成时间：***年***月***日1 / 28行列式的计算及应用摘要在高等代数这门课程里，行列式是最基本而又重要的内容之一，同时也是数学研究中的重要的工具之一，在线性代数、数学分析、解析几何等众多课程理论中以及实际问题中许也发挥着重要作用，了解如何计算和应用行列式显得尤为重要。

本文首先阐述行列式的基本理论，在此研究的基础上介绍了降阶法，归纳法，化三角形法等几种常见的且有一定技巧的解行列式的方法,并列举了相关的例子，更直观地了解解行列式方法的精髓。

另外，本文又介绍了行列式在解析几何、代数及其他课程当中的应用，进一步加深了对行列式的理解。

最后本文又列举实例阐述行列式在实际当中的应用，实现了行列式的理论与实际相结合。

研究行列式的计算方法及其应用可以提高对行列式的认识，有利于把行列式的研究推向深入。

通过这一系列的方法可以进一步提升对行列式的认识，为以后学习奠定了基础。

关键词：行列式，因式分解，化三角形法, 归纳法，加边法，Matlab软件Determinant calculation and applicationAbstractThis course in advanced algebra, the determinant is one of the most basic and important content, while many math curriculum theory is one of the important research tools, linear algebra, mathematical analysis, analytic geometry, etc. as well as practical problems also plays an important role in understanding how to calculate and apply the determinant is particularly important.This paper first describes the basic theory of determinants, based on this study describes the reduction method, induction techniques and a certain common determinant of several methods of solution method, the method of the triangle, and cited relevant examples, more intuitive understanding of the essence of the solution determinant method. In addition, this paper describes the determinant in analytic geometry, algebra and other courses which further deepened the understanding of the determinants. Finally, they provide examples described determinant application in practice to achieve a theoretical and practical determinant combined. Research determinant calculation method and its application can improve the understanding of the determinant, is conducive to deepen the study of determinants. You can further enhance the understanding of the determinants through this series of methods, laid the foundation for future learning.Keywords: determinants, factorization of a triangle, induction, plus side method, Matlab software3 / 28目录1. 行列式的定义及性质 (1)1.1 行列式的定义 (1)1.1.1 排列 (1)1.1.2 定义 (1)1.2 行列式的相关性质 (1)2. 行列式的计算方法 (5)2.1 几种特殊行列式的结果 (5)2.1.1 三角行列式 (5)2.1.2 对角行列式 (5)2.2 定义法 (5)2.3 利用行列式的性质计算 (5)2.4 降阶法 (6)2.5 归纳法 (7)2.6 递推法 (8)2.7 拆项法 (9)2.8 用范德蒙德行列式计算 (10)2.9 化三角形法 (10)2.10 加边法 (11)2.11 拉普拉斯定理的运用 (12)2.12 行列式计算的Matlab实验 (13)3. 行列式的应用 (15)3.1 行列式应用在解析几何中 (15)3.2 用行列式表示的三角形面积 (16)3.3 应用行列式分解因式 (16)3.4 利用行列式解代数不等式 (17)3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (17)3.6 行列式在实际中的应用 (18)总结 (20)参考文献 (21)附录1 (22)附录2 (22)附录3 (23)谢辞 (24)1 / 281. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义1.1.1 排列[1]在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数.1.1.2 定义[1]n 阶行列式nnn n n na a a a a a a a a D212222111211=就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积nnj j j a a a 2121 (1-1-1)的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为n nn nj j j j j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a a D21212121)(212222111211)1(∑-==τ， (1-1-2)这里∑nj j j 21表示对所有n 级排列求和.由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为n i i i i i i i i i nn n n nnn n a a a a a a a a a a a a D21)(212222111211212121)1(∑-==τ. （1-1-3）1.2 行列式的相关性质记 nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=,nnn nn n a a a a a aa a a D 212221212111'=,则行列式'D 叫做行列式D 的转置行列式.性质1 行列式和它的转置行列式是相等的[2]. 即D D ='. 证明：记D 中的一般项n 个元素的乘积是,2121n nj j j a a a它处于D 的不同行和不同列，所以它也处于'D 的不同行和不同列，在'D 中应是,2121n j j j n a a a所以它也是'D 中的一项.反之, 'D 的每一项也是D 的一项，即D 和'D 有相同的项.再由上面（1-2）和（1-3）可知这两项的符号也相同，所以D D ='.性质2 nnn n in i i nnn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111211212111211=. 证明：inin i i i i nnn n in i i n A ka A ka A ka a a a ka ka ka a a a +++=2211212111211.)(2121112112211nnn n in i i nin in i i i i a a a a a a a a a k A a A a A a k =+++=性质3 如果行列式的某行(列)的元素都为两个数之和[2]，如nnn n nn n a a a c b c b c b a a a D 21221111211+++=，3 / 28那么行列式D 就等于下列两个行列式的和：.212111211212111211nnn n n n nn n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a D +=可以参照性质2的证明得出结论.性质4 对换行列式中任意两行的位置，行列式值相反.即若设,21212111211nnn n kn k k in i i na a a a a a a a a a a a D=,212121112111nnn n in i i kn k k na a a a a a a a a a a a D =则.1D D -=证明：记D 中的一般项中的n 个元素的乘积是.2121n k i nj kj ij j j a a a a a它在D 中处于不同行、不同列，因而在1D 中也处于不同行、不同的列，所以它也是1D 的一项.反之，1D 中的每一项也是D 中的一项，所以D 和1D 有相同的项，且对应的项绝对值相同.现在看该项的符号：它在D 中的符号为.)1()(21n k i j j j j j τ-由于1D 是由交换D 的i 、k 两行而得到的，所以行标的n 级排列n k i 12变为n 级排列n k i 12，而列标的n 级排列并没有发生变化.因此D 和1D 中每一对相应的项绝对值相等，符号相反，即.1D D -=性质5 如果行列式中任有两行元素完全相同，那么行列式为零.证明：设该行列式为D ，交换D 相同的那两行，由性质4可得D D -=,故.0=D性质6 如若行列式中任有两行或者两列元素相互对应成比例，则行列式为零.证明：设n 阶行列式中第i 行的各个元素为第j 行的对应元素的k 倍，由性质2，可以把k 提到行列式外，然后相乘.则剩下的行列式的第i 行与第j 行两行相同，再由性质5，最后得到行列式为零.性质7 把任意一行的倍数加到另一行，行列式的值不改变.nnn n knk k knin k i k i na a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211+++nnn n kn k k kn k k nnnn n kn k k in i i n a a a a a a ca ca ca a a a a a a a a a a a a a a a2121211121121212111211+=nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211=.5 / 282. 行列式的计算方法2.1 几种特殊行列式的结果2.1.1 三角行列式nn nn nna a a a a a a a a 221122*********=（上三角行列式）.nn nnn n a a a a a a a a a2211212221110=（下三角行列式）. 2.1.2 对角行列式nn nna a a a a a22112211000=. 2.2 定义法例1 用定义法证明.000000002121215432154321=e e d d c c b b b b b a a a a a 证明：行列式的一般项可表成.5432154321j j j j j a a a a a 列标543,,j j j 只能在5,4,3,2,1中取不同的值，故543,,j j j 三个下标中至少有一个要取5,4,3中的一个数，则任意一项里至少有一个0为因子，故任一项必为零，即原行列式的值为零.2.3 利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式ij n a D =的元素都满足n j i a a ji ij ,,2,1,, =-=， 那么n D 叫做反对称行列式,证明：奇数阶的反对称行列式的值等于0.证明：由ji ij a a -=知ii ii a a -=，即n i a ii ,,2,1,0 ==所以行列式n D 可写为0000321323132231211312 nn nn nn n a a a a a a a a a a a a D ------=，再由行列式的性质2，'A A =得到0000000321323132231211312321323132231211312nnnnn n n nnn nn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ------=------=n n nn n n nn n D a a a a a a a a a a a a )1(0000)1(321323132231211312-=-------= ，当n 为奇数时，得n n D D -=，因而得到0=n D .2.4 降阶法例3 计算)2(≥n n 级行列式xy y x y x y xd 000000000000=. 解：按第一列展开得到原式阶阶)1(1)1(000000000)1(0000000000000-+--⨯+=n n n y xy y x y y x yx y x y x x1)1(1)1(-+-⨯⨯-+⨯=n n n y y x x)2()1()1(≥-+=+n y x n n n .7 / 282.5 归纳法形如行列式113121122322213211111----=n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a D叫做n 阶范德蒙（Vandermonde ）行列式.下面证明，对每一个)2(≥n n ，n 阶范德蒙行列式就等于n a a a ,,,21 这n 个数的所有可能的差)1(n i j a a j i ≤<≤-的乘积.用数学归纳法证明范德蒙德行列式 我们对n 作归纳法. （1）当2=n 时，122111a a a a -=，结果是对的.（2）设对于1-n 级的范德蒙行列式，结论是成立的，先来看n 级的情况.在113121122322213211111----=n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a D中，第n 行减第1-n 行的1a 倍，第1-n 行减第2-n 行的1a 倍，即由下而上逐次地从每一行减它上一行的1a 倍，得到n D 21123113221121231232122113120001111---------------=n nn n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a2112311322112123123212211312---------------=n nn n n n n n nn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a22322223223211312111)())((------=n nn n n n n a a a a a a a a a a a a a a a. 最后面这个行列式是1-n 级范德蒙德行列式，再由归纳法假设，它的值就是)1(n i j a a j i ≤<≤-；而所有带有1a 的差即为上式最后等式行列式的前面.所以，结论对n 级范德蒙德行列式也是成立的.由数学归纳法，证明了结论.用连乘号，这个结果可以简写为∏≤<≤-----==ni j j i n nn n n nn n a a a a a a a a a a a a a a D 1113121122322213211111）（ . （2-5-1） 2.6 递推法给定一个递推关系式，再给定某一个较低阶初始行列式的值，就可递推求得所给n 阶行列式的值，运用这种方法计算的方法就叫做递推法。