数学分析第十三章函数列与函数项级数
一致收敛函数列的性质2
第九讲
数学分析第十三章
函数列与函数项级数
定理13.10（可积性）
{}n f 若函数列在[a, b ]上一致收敛,且每一项都连续, 则
lim ()d lim ()d .
(3)
b
b
n n a
a n n f x x f x x →∞
→∞
=⎰⎰{}n f 证设f 为函数列在[a, b ]上的极限函数，(1,2,)n f n =从而 与f 在[a, b ]上都可积. lim ()d ()d .
(3)
b
b
n a
a
n f x x f x x →∞
'=⎰⎰于是(3)变为
13.9知f 在[a, b ]上连续,由定理
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定理13.11（可微性）
{}n f 设为定义在[a, b ]上的函数列, 的收敛点，
0[,]x a b ∈若为{}
n f (
)
lim ()lim ().(4)
n n n n f x f x →∞
→∞
'
'=则在[a, b ]上有
{}[,]n f a b 的每一项在上有连续的导数{}n f '，且在[a, b ]上一致收敛,{}n f '0lim (),n n f x A →∞
=设{}[,]n g f a b '为在上的极限函数，
00()()()d .
x
n n n x f x f x f t t '=+⎰由定理条件, 对任一[,]x a b ∈，证总有
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,于是
f 所以上式左边极限存在, 记为0()lim ()()d .
x
n x n f x f x A g t t →∞
==+⎰由g 的连续性及微积分学基本定理得
.
f g '=这就证明了等式：00()()()d .
x
n n n x f x f x f t t '=+⎰(lim ())()lim ().n n n n f x g x f x →∞→∞
''==,,n A →∞→当时右边第一项→第二项0
()d .
x
x
g t t ⎰
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函数列与函数项级数
0x {}n f 注请注意定理中的条件为的收敛点的作用.[,]a b {}n f 在定理的条件下, 还可推出在上函数列一致收敛于f ,请读者自己证明.
与前面两个定理一样, 运算交换的充分条件, 而不是必要条件, 请看例2.
一致收敛是极限运算与求导推论
0{}{}n n f I x I f 设函数列定义在区间上,若为的收敛
∈{}n
f I '在上内闭一致收敛，(
)
lim ()lim ().
n n n n f x f x →∞
→∞
'
'=I 则在上有点,
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在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收敛但定理结论成立的例子. (如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件, 才能保证定理结论的成立.
在今后的进一步学习中。