0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
在其他系数不变的情况下，一些参数在一定范围内 变化最优解不变。但是如果一些参数的变化较大， 最优解就可能发生变化。 这样就要问：这些参数在什么范围内变化时，问题 的最优基（或最优解）不变，或者当这些参数中的 一个或几个发生变化时，问题的最优解会有何变化。 这就是灵敏度分析要研究解决的问题。
③cj变化：直接反映到最终表中，计算检验数。 ④增加一个约束方程：直接反映到最终表中。
⑤增加新产品：仿照pj变化。
2．分析原理及步骤：
（2）检查改变后的最终表是否符合单纯形表的结 构要求（基变量的值中无负数，基变量的系数向量 构成单位矩阵，基变量的检验数全为0），或是否 符合对偶单纯形表的结构要求 （检验数中无正数， 基变量的检验数全为0，基变量的系数向量构成单 位矩阵）; （3）检查原问题是否仍为可行解; （4）检查对偶问题是否仍为可行解;
只要目标函数直线的斜率处于直线 x1+2x2=8与直线4x1=16的斜率之 间，Q2点就仍然是最优解的点。
目的标斜函率数-c直1 /线c2的小斜于率等z于=-c01.x51+c2x2
如果甲产品的单位利润不变，乙产
品的单位利润改变，可得甲产品的 利润范围c ≥1.5.同理，乙产品的利 润最优范围1 0≤C2≤4。 当两个系数C1、C2都改变时，我们 仍然可以用目标函数斜率的变化范
例子
用图解法求得的最优解 为Q（4，2）点。即生 产甲产品4件，乙产品2 件。
1.目标函数系数的变化
考虑目标函数系数变化对例题中最优产量解有什么 影响。甲产品的利润为2元，乙产品的利润为3元， 如果其中一种产品的利润增加，公司就会增加该产 品的产量，如果其中一种产品的利润减少，公司就 会减少该产品的产量。但问题是，利润变化多少时， 管理者才应该决定改变产量呢？ 每个目标函数都有一个最优范围，目标函数系数在 此范围内变化，模型最优解保持不变。 下面用图解法求解这个最优范围。
(a)
1
-2
0
0
XB b
x1
x2
x1 (f) (g)
2
x5 4 (h)
(i)
cj - zj
0
7
x3
x4
x5
-1 1/2 0
1
1/2 1
(j)
(k) (l)
--7-- --第2章 对偶问题--
2.5.2 图解法灵敏度分析
以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi,cj都是常数。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场 条改件变一而变改，变c；j值bi就是会根变据化资；源α投ij入往后往的是经因济工效艺果条决件定的 的一种决策选择。显然，当线性规划问题中某一个 或几个系数发生变化后，原来已得结果一般会发生 变化。 因此，所谓灵敏度分析，是指当线性规划问题中的 参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。
由
，得
，两边左
乘基变量的目标函数系数 ，得到
与
得到
用单纯形表表示如下：
初始表
XB
XN
XS = b
B
N
c0j,·-····z·,j 0
B
N
最终表
XB
XN
XB = b '
E
N'
cj' - zj 0,······,0
' N
S
XS
表中，
E
b ' =B-1 b
N ' =B -1 N
或者 Pj ' =B -1 Pj
因此，约束方程系数矩阵的迭代实际上相当于左乘 相应的可逆矩阵。
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
Cj → CB XB b 0 x3 3 0 x4 4
cj - zj
0 3
x3 x2
1 2
cj - zj
2 x1 2 3 x2 1
cj - zj
2
3
x1
x2
1
1
1
2
2
3
1/2
0-1/2 1/2源自1/21/201
灵敏度分析
第五节 灵敏度分析
2.5.1 单纯形法的矩阵描述 2.5.2 图解法灵敏度分析 2.5.3 单纯形法灵敏度分析
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
在单纯形法的迭代中，我们注意到，迭代过程中主 要应用了矩阵的行变换，如在某一行上乘以一个不 等于0的乘数k,或在某一行上乘以常数k加到另一行 上。这种迭代过程相当于左乘一个相应的初等阵， 而初等阵及其乘积为可逆矩阵。
XS B-1
N ' = CN-CB B-1 N 或者 j' =Cj-C BB -1P j
S' = -CB B-1
练习： 用单纯形法解目标规划问题时，有如下二个单纯形表，试求括 弧中未知数a~l的值。
XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x4 6 (b)
(c)
(d)
1
0
x5 1 -1
3 (e)
0
1
cj - zj
2．分析原理及步骤：
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
原最优基不变
用单纯形法继续迭代
用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量，扩大原 单纯形表继续计算
2.1资源数量变化的分析
这资br′样源=使数br最量+Δ终变b表r化。中是并原指假问资设题规源的划中解问某相题系应的数其地b他变r发系化生数为变都化不，变。即 XB′=B-1(b+Δb)