运筹学教程
Cj
210
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15 0
51
2 x1 5 1
10
0 x4 2 0
-4 0
Cj-Zj
0
-1 0
00 x4 x5 00 01 1 -6 0 -2
工厂的最优生产计划改为只生产产品1，每天 的生产数量5件。
解：（2）
设每天的调试可用能力为5
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1 b' B1b 0
x5
x4
5
24
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
用单纯形法求解如下：
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Cj
210 0 0
CB 基 b X1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15/2 0 2 x1 7/2 1 1 x2 3/2 0
01 00 10
5/4 -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2
Cj-Zj
0
8
2
3 / 2 0 2
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将其反映到最终的单纯形表，原问题非可行解， 采用dual单纯形法
Cj
2
CB 基 b X1
0 x3 35/2 0
2 x1 11/2 1
1 x2 -1/2 0
Cj-Zj
0
10 x2 x3 01 00 10 00
00 x4 x5 5/4 -15/2 ¼ -1/2 [-1/4] 3/2 -1/4 -1/2
aij
y i
i 1
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（2）、检查原问题是否仍为可行解。 （3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题
可行解 非可行解 可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
问题最优解或最优基不变 单纯形求解最优解 对偶单纯形求解最优解 引进人工变量，新单纯形 表重新计算
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三、 灵敏度分析举例：
例1-1
max Z 2x1 x2
5x2 15
s.t.6x1x1x22
x2
5
24
x1, x2 0
引入非负的松弛变量x3, x4,x5, 将该LP化为
标准型：
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max Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
5x2 x3 15
s.t.6x1x1x32 x2
0
5/4 1/ 4 1/ 4
15 / 20 15 /2
1/ 2
0
/2
3 / 2 3 / 2
反映到单纯形表，b列数字为
b
15
2 7
15
2
1
2 2
3 3
22
当b≥0问题的最优基不变， 解得： 1 1
所以调试能力在4~6h
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3、增加一个变量xj的分析
分析步骤：
Cj-Zj
1.5 2
X1 x2 00
10
01
0
0
00 x3 x4
4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5
-6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下： 生产产品1为2件，产品2为3件。
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解（2）设产品2的利润1+ 直接反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2
（1）如果设备A和调试工序的每天的能力不变，设备B每 天的能力增加到32h，分析公司最优的生产计划的变化；
（2）如果设备A和设备B每天的能力不变，则调试工序在 什么范围内变化，问题的最优基不变。
解：（1）
0 b 8
0
1 b' B1b 0
0
5/4 1/ 4 1/ 4
15 / 20 10
1/ 2
1+ x2 3/2
Cj-Zj
2 1 + 0 0
0
X1 x2 x3 0 01
x4 5/4
x5 -15/2
1 00 ¼
-1/2
0 1 0 -1/4 3/2
0
0 0 -1/4+ /4 -1/2-3 /2
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1
0, 1 3
0
44
22
1 1
3 所以产品利润的变化
范围应满足：
2 3
c2
2
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Cj
1.5 2 0
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15/2 0
01
1.5 x1 7/2 1
00
2 x2 3/2 0
10
Cj-Zj
0
00
00 x4 x5 [5/4] -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2
1/8 -9/4
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Cj CB 基 b 0 x4 6 1.5 x1 2 2 x2 3
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2、灵敏度分析的内容： 目标函数的系数变化对最优解的影响； 约束方程右端系数变化对最优解的影响； 约束方程组系数阵变化对最优解的影响 ；
回答两个问题：
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①这些系数在什么范围内发生变化时，最优 基不变（即最优解或最优解结构不变）？ ②系数变化超出上述范围时，如何用最简便 的方法求出新的最优解？
2、分析bi（右端常数）变化：
当bi发生变化时，将影响所有基变量的取值。 因为： X B B 1b 若bi的变化→
①保持B-1b≥0,当前的基仍为最优基，最优解的结构 不变（取值改变）；
②（B-1b）<0,当前基为非可行基,但是仍保持为对偶 可行基, 可用对偶单纯形法求出新的最优解；
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仍然来看例1-1：
0 0 -1/4 -1/2
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1、价值系数Cj变化 （1）当cj是非基变量的价值系数——它的变 化只影响 j 一个检验数。
N CN CB B 1 N
例：c4发生变化时， 4 0 ，最优解不变 否则 4 >0,可使用原单纯形法继续迭代求出新
的最优解。
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（2）当cj是基变量的价值系数——它的变化 将影响所有非基变量的检验数.
N CN CB B 1 N
当cj变化时，如能保持 N 0，则当前解仍为 最优解，否则可用单纯形法继续迭代求出新 的最优解。
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例1-1:(1)如果产品1的利润降至1.5元/件，产品2的利润增加 至2元/件，工厂的最优生产计划？
（2）如果产品1的利润不变，则产品２的利润在什么范围内变 化，工厂的最优生产计划不变？ 解（1）将产品1，2的利润变化直接反映到单纯形表
m
1、计算
' j
cj
zj
cj
aij yi
i 1
2、计算P ' j B 1Pj
3、如果
' j
0, 最优解不变；
如果
' j
0, 继续计算。
如果该厂计划推出新产品3，生产一件所需要设备A,B 以及调试工序的时间分别是3h,4h,2h，该产品的预期利 润3元/件，分析该种产品是否值得投产？如投产，对该 公司的最优生产计划有何改变？
二、 进行灵敏度分析的基本原则 1、在最优单纯形表的基础上进行； 2、尽量减少附加计算工作量；
3、灵敏度分析的步骤：
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（1）将参数的改变通过计算反映到单纯形表。
参数aij,bi,cj的变化引起的单纯形表上的有关 数字的变化：
b' B1b
Pj' B1Pj
m
(c j z j )' c j