cj变化只影响目标函数等值线的斜率；

线性规划问题的最优解若为可行解域的某一顶点，
交于该顶点的两条直线的斜率即cj变动范围，cj在两
条直线斜率之间变动时，原线性规划问题的最优解
不变，最优值变动（cj变动）。
四、约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析

例：
max F 6 x1 4 x 2 s.t . 2 x1 3 x 2 10 4 x1 2 x 2 12 x1 , x 2 0

上例中，设备台时数的对偶价格=50。
讨论：原料A（b2）的对偶价格
400
2 x 1 x 2 400
原料A的约束条件
B C C’
b2小变动对原问题 不产生影响
300
A 200 100
原料B的约束条件
设备台时的约束条件 100 D 200 D’ 300 400
原料A的 对偶价格 为0
O
50 x1 100 x2 0
图解法
400
2 x 1 x 2 400
B C
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A 200 100
x 2 250
最优生产方案为： 甲生产50，乙生产250； 此时， 总利润为27500元。 400
x 1 x 2 300
O
100
D 200
300
50 x1 100 x2 0
现提高设备可利用台时数 （b1=300 b1=310)

设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：
max F 50 x 1 100 x 2 s .t . x 1 x 2 310 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 0 , x 2 0
max s .t .
4
6 x1 4 x2 20
6
x1
讨论cj变化对原问题的影响
x2
（5）当目标函数等值线的斜率 k<k2时，最优解交于C点；
5 A
2 斜率k 2 2
3
B
1
斜率k 1 2 3
1 C O 2
4
6
x1
讨论最优解不变时c1变动的范 围（c2=4不变）
x2
目标函数等值线斜率k c1 c2 当k 2 k k1时，最优解不变， 即，2 c1 4 2 3
5 A
2 斜率k 2 2
3
B
1
8 c1的变动范围为： c1 8 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
斜率k 1
2 3
4
6 x1 4 x2 20
6
x1
讨论最优解不变时c2变动的范 围（c1=6不变）
x2
目标函数等值线斜率k c1 c2
5 A
2 斜率k 2 2
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
4
6
x1
6 x1 4 x2 20
讨论cj变化对原问题的影响
x2
5 A
2 斜率k 2 2 （1）Cj变动不影响可行解域； （2）cj变动将影响目标函数等值线 的斜率，从而可能影响与可行解域 的交点； （3）当目标函数等值线的斜率在 1 和 2 之间变动时，最优解仍在B点；
当约束条件右边系数bi变化时，目标函数等值线斜率不变； 当bi变动时，重新考察最优解的交点是否改变。
讨论bi变动带来最优值的变化

例：某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产。 生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗 以及资源的限制如下表：
设备 原料A 原料B 甲产品 1 2 0 乙产品 1 1 1 资源限制 300台时 400kg 250kg
F 50 x 1 100 x 2
x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 0 , x 2 0
图解法
400
2 x 1 x 2 400
B B’
此时，可行解域为OAB’C’D 最优解为B’点（60，250）
300
A 200 100
§5.1 图解法的灵敏度分析

灵敏度分析的概念和重要性
目标函数中的系数cj的灵敏度分析 约束条件中右边系数bi的灵敏度分析
一、灵敏度分析的概念

灵敏度分析：就是在建立数学模型和求得最
优解之后，研究线性规划的一些系数cj、bi、
aij变化时，对最优解产生什么影响。
二、灵敏度分析的重要性

讨论：原料B（b3）的对偶价格
400 A’ A 200 100 D 200 B’
原料A的约束条件
B C
x 2 250
b3变动 会对原问题的 最优解产生 影响
原料B的约束条件
新的 最优解 在B‘点
设备台时的约束条件
O
100
300
400
50 x1 100 x2 0
讨论：b3增加一个单位， 最优值的变化量。
首先，因为这些系数都是估计值和预测值，不一定非常精确；
其次，即使这些系数值在某一时刻是精确值，他们也会随着 市场条件的变化而变化，不会一成不变的。例如，原材料的 价格，商品的售价、加工能力、劳动力的价格等等都会影响 这些系数的变化；

有了灵敏度分析就不必为了应付这些变化而不停地建立新的
模型和求其新的最优解，也不会由于系数的估计和预测的精
改进。即求得最大值时，变得更大；求最小值时，
变得更小；

如果对偶价格小于零，则其最优目标函数值变坏。
即求最大值时，变得更小；求最小值时，变得更
大；

如果对偶价格等于零，则其最优目标函数值不变。
练习题
b3=250时， 最优解为 x1=50,x2=250 最优值为 50*50+100*250 =27500

b3=251时， 最优解为 x1=49,x2=251 最优值为 50*49+100*251 =27550

所以，原料B的对偶价格=50
几种情况

如果对偶价格大于零，则其最优目标函数值得到
5 A’ A 3
（2）原最优解为B点，现最优 解为B‘点。
B’ B
1 C O 2 4 6 x1
总结：约束条件中右边系数bi的 灵敏度分析

当约束条件右边系数bi变化时，其线性规划的可行解域将
变化；

当某个bi发生变动时，它所在的约束条件直线的斜率不变， 相当于将可行解域的一个边界做平行移动。

C’ C
x 2 250
最优生产方案为： 甲生产60，乙生产250； 此时， 总利润为28000元。 400
x 1 x 2 300
O
100
D 200
300
50 x1 100 x2 0
B1变化前后对比：
b1=300时， 最优解为 x1=50,x2=250 最优值为 50*50+100*250 =27500
3
B
1
斜率k 1 2 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
4
6
x1
6 x1 4 x2 20
讨论cj变化对原问题的影响
x2
（4）当目标函数等值线的斜率 0>k>k1时，最优解交于A点；
5 A
2 斜率k 2 2
3
B
1
斜率k 1 2 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
当k 2 k k1时，最优解不变， 即，2 6 c2 2 3
3
B
1
c 2的变动范围为： c2 9 3
2 3
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
斜率k 1
4
6 x1 4 x2 20
6
x1
总结：cj的灵敏度分析

目标函数中的系数cj变化不影响可行解域；
讨论：当b1=10 b1=11时对 原问题的影响
x2
5 A
4 x1 2 x2 12
3
B
2 x1 3x2 10
1 C O 2
6 x1 4 x2 0
4
6
x1
6 x1 4 x2 20
讨论：b1变动对原问题的影响 （b1=10 b1=11）
x2
5 A’ A 3
4 x1 2 x2 12
确性而对所求的得最优解存在不必要的怀疑。
三、目标函数系数cj的 灵敏度分析

例：
max F 6 x1 4 x 2 s.t. 2 x1 3 x 2 10 4 x1 2 x 2 12 x1 , x 2 0
图解
x2
5 A
4 x1 2 x2 12
3
B
2 x1 3x2 10

b1=310时， 最优解为 x1=60,x2=250 设备台时数增加10台时 最优值为 总利润增加500元 50*60+100*250 =28000

每增加一个台时的设备就可以多获得500/10=50元的利润
对偶价格

约束条件常数项中增加一个单位而使得
目标函数值得到改进的数量称之为这个
约束条件的对偶价格。

工厂每生产一单位甲产品可获利50元，每生产一单位乙 产品可获利100元，问工厂应分别生产多少单位产品甲和 产品乙才能使得获利最多？
数学模型：

设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：
max s .t . x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 0 , x 2 0 F 50 x 1 100 x 2