§3.3 单自由度机械系统的动力学方程
一、拉格朗日方程 拉格朗日方程： Ek E p d Ek ( ) Fi (i 1,2,...,n) dt qi qi qi
式中：Ek——系统的动能； Ep——系统的势能； qi——广义坐标，它是可以完全确定机械系统运动的一组独立 参数； Fi——广义力，当广义坐标为一角位移时Fi为一个力矩，当广 义坐标为一线性位移时Fi为一个力； n——系统的广义坐标数。 利用拉格朗日方程进行系统的动力学分析时，先选定系统的广 义坐标，然后列出系统动能、势能和广义力的表达式，代入拉格朗 日方程中，即可导出系统的动力学方程。
二、单自由度机械系统的动力学方程 单自由度系统只有一个广义坐标，用q表示。对主动构件做回转 运动这种一般情况，常将主动构件的转角选定为系统的广义坐标。 整个系统的能量和机械功均可表示为这个广义坐标的函数。 1、系统的动能 设机械系统中的第i个构件做一般平面运动，启动能Eki可表示为
Eki 1 1 2 mi v 2 J Si si i 2 2
§3.1 概 述
机械的真实运动规律是由作用于机械上的外力、各 构件的质量、尺寸及转动惯量等因素决定的，而研究机 械在外力作用下的真实运动则是机械动力学的基本问题 （机械动力学的正问题）。本章主要研究两个问题: 第一，研究单自由度机械系统在外力作用下的真实 运动规律，即机械系统的运动随时间的变化规律。掌握 通过建立动力学模型建立力与运动参数之间的运动微分 方程来研究真实运动规律的方法。
P ( Fk vk cos k ) ( M j j )
k 1 j 1 m n
式中：ωj——有外力矩Mj作用的构件的角速度； vk——外力Fk作用点的速度； αk——Fk与vk的夹角。 式中第二项符号的确定方法为：当Mj与ωj同向时取正号，反向时取负号。
广义力就是作用在广义坐标处的一个力或力矩，它所作的功等于系统中 全部力和力矩在同一时间内所作的功。
第二，研究机械运转速度波动产生的原因及其调节 方法。
机械运转的三个阶段
1.启动阶段 原动件的速度由零逐渐上升到开始稳定的过程。 2.稳定运转阶段 1）周期变速稳定运转：角速度ω≠常数，产生周期性波动，会在运动副 中产生附加动反力，需进行动力学分析。 2）等速运转：ω=常数的稳定运转。 3.停车阶段 原动件的速度从正常工作速度下降到零的阶段。 在启动和制动阶段是会产生较大的动载荷，需进行动力学计算。
例题
某起吊重物用的电动葫芦的电动机，型号为Y90L-4，额定功率 PH=1.5kW，同步转速n0=1500r/min，额定转速nH=1410r/min，求 该电动机在额定转速附近的机械性能。
解：在加载过程中电动机角速度只在额定角速度附近波动，可采用 直线形式的机械特性
例题
电动机型号Y100L2-4，额定功率PH=3kW，同步转速n0=1500r/min， 额定转速nH=1420r/min，最大转矩与额定转速之比λ=MK/MH=2.2，推导出三 相异步电动机机械特性图中AC段的机械特性。
广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩Me，它可按下式计算：
生产阻力的几种情况：
1、生产阻力为常数，例如起重机、轧钢机、刨床等。 2、生产阻力随位移而变化，例如活塞式的压缩机和泵、曲柄压力机 等。
3、生产阻力随速度而变化，例如鼓风机、离心泵、螺旋桨。
4、生产阻力随时间而变化，例如球磨机、揉面机等。
驱动力的几种情况：
1、驱动力是常数，例如以重锤作为驱动装置的情况； 2、驱动力是位移的函数，例如用弹簧作驱动件时；
式中：mi——构件i的质量； JSi——构件i相对于其质心的转动惯量； vSi——构件i质心的速度； ωi——构件i的角速度。 作平动的构件的动能只含上式的第一项，作绕质心的定轴转动 的构件则只含第二项。
机械系统全部构件的动能总和为
1 1 2 Ek Eki ( mi v 2 J Si i ) si 2 i 1 i 1 2
式中l为活动构件总数 动能也可以表示为
l
l
Ek
式中
1 2 J eq 2
J e [mi (
i 1
l
vSi 2 ) J Si ( i ) 2 ] q q
称为广义速度，是随时间变化的。 Je称为系统的等效转动惯量。 q
2、系统的势能 对刚体机械系统，不计构件的弹性变形和变形能，而且一般情 况下，由构件的重量产生的势能与动能相对数值也很小，因此拉格 朗日方程中的势能常常可以略去。 3、系统的广义力 设Fk（k=1,2，…，m）和Mj（j=1,2，…，n）分别为作用于机 械上的外力和外力矩，则这些力和力矩的功率为
电机铭牌上给出如下数据： 额定功率PH（kW），额定转速nH （r/min），同步转速n0（r/min）； 最大转矩MK与额定转矩MH的比值 λ=MK/MH； 启动转矩MD与额定转矩MH的比值
λ1=MD/MH
通过铭牌上得数据可确定机械特性曲线上四个特征点的坐标：A(MK,ωK), A(MH,ωH), A(0,ω0), A(MD,0)。
§3.2 作用在机械上的力
一、作用在机械上的力的特征
在机械上作用的力：
驱动力 由原动机发出并传给驱动构件的力，此力在一个运动循环內作正
功。
生产阻力 完成有用功时作用于机械上的阻力，此功做负功。
重力
当构件的重心向上运动或向下运动时分别作负功或正功，在一个 循环内作功为零。 摩擦力 由运动副表面的摩擦产生的有害阻力，作负功。
3、驱动力是速度的函数，例的曲线。
二、三相异步电动机的机械特性
如图所示，三相异步电动机的输出力矩随角速度变化的曲线，称 为机械特性。AC段的运转是稳定的，当外载荷加大而导致机械减速 时，输出力矩将增加，并与外载荷达到新的平衡。而AD段的运转是 不稳定的，而外载荷增加导致转速下降时，输出力矩也下降，更无法 与外载荷平衡，造成转速进一步下降，直至停车。因此三相异步电动 机应在AC段工作。点B是电动机的额定工作点。