附录I 矩阵代数基本知识矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。

一、 向量矩阵的定义 将n p ⨯个实数111212122212,,,,,,,,,,,,p p n n np a a a a a a a a a 排成如下形式的矩形数表，记为A111212122212p p n n np a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则称A 为n p ⨯阶矩阵，一般记为()ij n p a ⨯=A ，称ij a 为矩阵A 的元素。

当n p =时，称A 为n 阶方阵；若1p =，A 只有一列，称其为n 维列向量，记为11211n a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦若1n =，A 只有一行，称其为p 维行向量，记为()11121,,,p a a a当A 为n 阶方阵，称1122,,,nn a a a 为A 的对角线元素，其它元素称为非对角元素。

若方阵A 的非对角元素全为0，称A 为对角阵，记为11221122(,,,)nn nn a a diag a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A进一步，若11221nn a a a ====，称A 为n 阶单位阵，记为n I 或=A I 。

如果将n p ⨯阶矩阵A 的行与列彼此交换，得到的新矩阵是p n ⨯的矩阵，记为112111222212n n p pnp a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 称其为矩阵A 的转置矩阵。

若A 是方阵，且'=A A ，则称A 为对称阵； 若方阵()ij n n A a ⨯=，当对一切i j <元素0ij a =，则称11212212n n nn a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 为下三角阵；若'A 为下三角阵，则称A 为上三角阵。

二、 矩阵的运算1．对()ij n p a ⨯=A 与()ij n p b ⨯=B 的和定义为： ()ij ij n p a b ⨯+=+A B2．若a 为一常数，它与矩阵n p ⨯阶矩阵A 的积定义为： ()ij n p a aa ⨯=A3．若()ik p q a ⨯=A ，()kj q n b ⨯=B ，则A 与B 的积定义为： 1()qik kjp n k ab ⨯==∑AB根据上述矩阵加法、数乘与乘的运算，容易验证下面运算规律：1．加法满足结合律和交换律 ()()++=++A B C A B C+=+A B B A2．乘法满足结合律()()a a ββ=A A ， ()()()a a a ==AB A B A B ()()=A BC AB C3．乘法和加法满足分配律()a a a +=+A B A B ， ()a a ββ+=+A A A()+=+A B C AB AC ，()+=+A B C AC BC 4．对转置运算规律()'''+=+A B A B ， ()()a a ''=A A()'''=AB B A ， ()''=A A另外，若()ij n n a ⨯=A 满足''==A A AA I ，则称A 为正交阵。

三、 矩阵分块对于任意一个n p ⨯阶矩阵A ，可以用纵线和横线按某种需要将它们划分成若干块低阶的矩阵，也可以看作是以所分成的子块为元素的矩阵，称为分块矩阵，即：111212122212p p n n np a a a a a a aa a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 写成11122122⎛⎫= ⎪⎝⎭AA A A A其中1111(ij n p a ⨯=A )，1212(ij n p a ⨯=A )， 2121(ij n p a ⨯=A )，2222(ij n p a ⨯=A )，且12n n n +=，12p p p +=。

分块矩阵也满足平常矩阵的加法、乘法等运算规律。

不难证明：11122122''⎛⎫'= ⎪''⎝⎭A A A A A 。

四、 方阵行列式的性质一个n 阶方阵()ij n n a ⨯=A 中的元素组成的行列式，称为方阵A 的行列式记为A 或det A 。

它有以下我们熟知的性质： 1．若A 的某行（或列）为零，则0=A ； 2．'=A A ；3．将A 的某行（或列）乘以数c 所得的矩阵的行列式等于c A ； 4．若A 是一个n 阶方阵，c 为一常数，则nc c =A A 5．若A 的两行（或列）相同，则0=A ；6．若将A 的两行（两列）互换所得矩阵的行列式等于-A ；7．若将A 的某一行（或列）乘上一个常数后加到另一行相应的元素上，所得的矩阵的行列式不变，仍等于A ；8．若A 和B 均为n 阶方阵，则=AB A B ； 9．若A 为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则1niii a==∏A10．0'≥AA11．若A 和B 都是方阵，则==A CA 0A B 0B C B12．若A 和B 分别是n p ⨯和p n ⨯的矩阵，则n p +=+I AB I BA五、 逆矩阵设A 为n 阶方阵，若0≠A ，则称A 是非退化阵或称非奇异阵，若0=A ，则称A 是退化阵或称奇异阵。

若A 是n 阶非退化阵，则存在唯一的矩阵B ，使得n ==AB BA I ，B 称为A 的逆矩阵，记为1-=B A 。

逆矩阵的基本性质如下： 1．11--==AAA A I2．11()()--''=A A3．若A 和B 均为n 阶非退化阵，则 111()---=AB B A4． 设A 为n 阶非退化阵，b 和a 为n 维列向量，则方程：=Ab a 的解为1-=b A a 5．11--=AA6．若A 是正交阵，则1-'=A A7．若A 是对角阵，1122(,,,)nn diag a a a =A 且0ij a ≠，1,,i p =，则11111122(,,,)nn diag a a a ----=A。

8．若A 和B 非退化阵，则11111-----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A C A A CB 0B 0B11111-----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A 0A 0C B B CAB 9．设方阵A 的行列式A 分块为：11122122=A A A A A若11A ，22A 是方阵且是非退化，则1111222111122211122221--=-=-A A A A A A A A A A A六、 矩阵的秩设A 为n p ⨯阶矩阵，若存在它的一个r 阶子方阵的行列式不为零，而A 的一切(1)r +阶子方阵的行列式均为零，则称A 的秩为r ，记作()rk r =A 。

它有如下基本性质：1．()0rk =A ，当且仅当=A 0；2．若A 为n p ⨯阶矩阵，则0()min(,)rk n p ≤≤A ；3．()()rk rk '=A A ；4．()min((),())rk rk rk ≤AB A B ； 5．()()()rk rk rk +≤+A B A B ；6．若A 和C 为非退化阵，则()()rk rk =ABC B 。

七、 特征根和特征向量设A 为p 阶方阵，则方程0p λ-=A I 是λ的p 次多项式，由多项式理论知道必有p 个根（可以有重根），记为1λ，2λ…，p λ，称为A 的特征根或称特征值。

若存在一个p 维向量i u ，使得()0i p i λ-=A I u ，则称i u 为对应于i λ的A 的特征向量。

特征根有如下性质：1．若A 为实数阵，则A 的特征根全为实数，故可按大小次序排列成12p λλλ≥≥≥，若i j λλ≠，则相应的特征向量i u 与j u 必正交。

2．A 和'A 有相同的特征根。

3．若A 与B 分别是p q ⨯与q p ⨯阶阵，则AB 与BA 有相同的非零特征根。

实际上，因为p p p q q q λλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭I A I A I AB 00I B I B I p p p q q q λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭I 0I A I A B I B I 0I BA所以p p q q λλλλλ-=-I AB 0I AB I 0I BAq p p q λλλλ-=-I AB I BA那么，两个关于λ的方程0p λ-=I AB 和0q λ-=I BA 有着完全相同的非零特征根（若有重根，则它们的重数也相同），从而AB 和BA 有相同的非零特征根。

4．若A 为三角阵（上三角或下三角），则A 的特征根为其对角元素。

5．若1λ，2λ…，p λ是A 的特征根，A 可逆，则1-A 的特征根为11λ-，12λ-，…，1p λ-。

6．若A 为p 阶的对称阵，则存在正交矩阵T 及对角矩阵=Λ 1(,,)p diag λλ，使得'=A T ΛT实际上，将上式两边右乘T ，得=AT T Λ将T 按列向量分块，并记为12(,,,)p =T u u u ，于是有112120(,,,)(,,,)0p p p λλ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭A u u u u u u121122(,,,)(,,,)p p p λλλ=Au Au Au u u u那么i i i λ=Au u ， 1,2,,i p =这表明12,,p λλλ是A 的p 个特征根，而12,,,p u u u 为相应的特征向量。

这样矩阵A 可以作如下分解：111210(,,,)0p p p pi i ii λλλ='='⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭'=∑A TAT u u u u u u u称之为A 的谱分解。

八、 矩阵的迹若A 是p 阶方阵，它的对角元素之和称为A 的迹，记为1()piii tr a==∑A 。

方阵的迹具有下述基本性质：1．若A 是p 阶方阵，它的特征根为1λ，2λ…，p λ，则1()pii tr A λ==∑；2．()()tr tr =AB BA ； 3．()()tr tr '=A A4．()()()tr tr tr +=+A B A B 5．()()tr tr αα=A A九、 二次型与正定阵 称表达式11ppij i j i j Q a x x ===∑∑为二次型，其中ij ji a a =是实常数；1x ，2x ，…，p x 是p 个实变量。

若()ij p p a ⨯=A 为对称阵，1(,,)p x x '=X ，则11ppij i j i j Q a x x =='==∑∑X AX若方阵A 对一切0≠X ，都有0'>X AX ，则称A 与其相应的二次型是正定的，记为0>A ；若对一切0≠X ，都有0'≥X AX ，则称A 与二次型是非负定的，记为0≥A 。