2018-2019高一第二学期开学考试试题一、选择题：（每题5分，共60分）1.已知集合A {|1}x x =<，{1，2}，B {|31}x x =<则（ ） A ．A{|0}B x x =< B ．A R B = C ．A {|1}B x x => D ．A B =?2.角α的终边为直线2y x =，则cos 2α=（ ） A.45±B.35±C.45-D.35- 3.已知二次函数()f x 满足(+2)f x =(2)f x -，且()f x 在[0,2]上是增函数，若()(0)f a f ³，则实数a 的取值范围是（ ）A ． [0,)+?B ．(,0]-?C ．[0,4]D ．(,0][4,)-?? 4.若函数()sin()+sin()36f x x a x pp =+-的一条对称轴方程是2x p=，则a 的值是（ ） A ．1B 3C ．2D ．35.若一系列的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为2y x =，值域为{1,4,9}的“同族函数”有（ ）A.3 个B.6个C.9 个D.27个6.点O 是ABC 内一点，且3570OA OB OC ++=,已知ABC 的面积为15，则AOB 的面积为（ ） A.5 B.6 C.7 D.87.已知三个函数2()2,()2,()log x f x x g x x h x x x =+=-=+的零点依次为,,a b c ，则（ ） A.a b c << B.a c b << C.b a c << D.c a b <<8.已知A 、B 、C 是圆O 上的不同的三点，且OA OB ⊥，OC 与线段AB 相交于点D ，若OC xOA yOB =+，则x y +的取值范围是（ ）A （0,1）B （1+∞，） C.（02， D.（12，] 9. 已知函数2()|log |1||f x x =-，若函数2()[()]()2g x f x af x b =++有6个不同的零点，则这6个零点之和为（ ）A.6B.7C.8D.910.已知函数()f x 满足①对任意(0,)x ∈+∞恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-，若()(2020)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 的值为（ ）A.28B.34C.36D.10011.已知函数22||,2,()(2),2x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩函数()(2),g x b f x =--其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A.704（，） B.74（，2） B.74（，3） D. 2（，3）12.已知平面四边形ABCD ，BC=2，且A=75B C ︒∠∠=∠=，则边AB 的取值范围是（ ）A.131)B.3131(-+ C.(62,62) D.62(- 二、填空题：（每题5分，共20分） 13.若函数()sin(2)(0)3f x x p j j p =+-<<是偶函数，则=ϕ .14.函数20.5()log (35)f x x ax =-+在∞（-1,+)上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 15.已知a R ∈，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 16.若函数2()ln(1)f x x x =+，则不等式2(3)(2)0f x f x -+?的解集为 .三、解答题：（6大题，共70分）17、（10分）已知a =（4，3），b =（5，-12）． （1）求|a +b |的值；（2）求a 与b 的夹角的余弦值．18、（12分）已知集合2{|lg(3)A x R y x x =∈=--2}，2{|0}4B x x x a a R =+=∈﹣，．（1）若A B ≠∅，求a 的取值范围；（2）若A ∩B=B ，求a 的取值范围．19、（12分）已知函数24cos 43sin cos 2f x x a x x =++（）﹣，若f x （）的图象关于点(,0)12π对称．（1）求实数a ，并求出f x （）的单调减区间； （2）求f x （）在[,]46ππ-上的值域．20、（12分）已知函数2ln 2ln 3f x x a ex =+（）﹣（），12[,]x e e -∈. （1）当a =1时，求函数f x （）的值域； （2）若ln 4f x a x ≤+（）﹣恒成立，求实数a 的取值范围．21、（12分）设向量(3sin 2cos sin )a x x x =+，，1cos sin b x x =（，-），其中x R ∈，函数=f x a b ⋅（）．（1）求f x （）的最小正周期；（2）若1f θ=（），其中02πθ＜＜，求6cos πθ（﹣）的值．22、（12分，普通班做）已知函数log 1log 1a a f x x x =+（）（）-（-）（a ＞0，且a ≠1）． （1）写出函数f x （）的定义域，判断f x （）奇偶性，并证明； （2）当0＜a ＜1时，解不等式f x （）＞0．22、（12分，特长班做）已知函数15)1(2)(22+++-=x k k x x f ，k x k x g -=2)(，其中R k ∈。

（1）设)()()(x g x f x p +=，若0)(=x p 在)4,1(上有解，求实数k 的取值范围；（2）设函数⎩⎨⎧<≥=0)(0)()(x x f x x g x q 是否存在实数k ，对任意给定的非零实数1x ，存在唯一的非零实数2x ()12x x ≠，使得()12)(x q x q =？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

2018-2019高一第二学期开学考试试题答案一、选择题：1-5: A D C B D 6-10:C B DA C 11-12:B C 二、填空题：13.56π 14.[-8,-6] 15.9(,]2-?16.[-3,1]三、解答题：17、解：（1）根据题意，=（4，3），=（5，﹣12）． 则+=（9，﹣9）， 则|+|==9，（2）=（4，3），=（5，﹣12）． 则•=4×5+3×（﹣12）=﹣16， ||=5，||=13，则cos θ==﹣．18、解：令22424f x x x a x a =+=+（）﹣（﹣）﹣，则对称轴为2x =， （1）由题意得B ≠∅，∴△=16﹣4a ≥0，解得a ≤4…① ∵A ∩B ≠∅，又∵230,x x ->-2解得31x x ><-或 故A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）， ∴f （3）＜0，解得a ＜3…②，由①②得，实数a 的取值范围为（﹣∞，3）． （2）∵A ∩B=B ，∴B ⊆A ，当△=16﹣4a ＜0，即a ＞4时，B=∅，这时满足A ∩B=B ， 当△=16﹣4a ≥0时，B ≠∅，此时a ≤4…③， ∵B ⊆A ，∴f （﹣1）＜0，解得a ＜﹣5…④， 由③④，得a ＜﹣5．综上所述，得实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪(4，+∞）．19、解：（1）∵函数24cos 43sin cos 223sin 22cos2f x x a x x a x x =++=（）﹣﹣，∵f x （）的图象关于点（，0）对称．∴a ﹣=0，解得：a =1，∴函数f x =（）2sin 22cos 2x x ﹣=4sin 2x （﹣），由2x﹣∈[+2k π，+2k π]，k ∈Z 得：x ∈[+k π，+k π]，k ∈Z ，故f x （）的单调减区间为[+k π，+k π]，k ∈Z ； （2）当x ∈[﹣，]时，2x ﹣∈[﹣，]，当2x ﹣=﹣，即x =﹣时，函数取最小值﹣4，当2x ﹣=，即x =时，函数取最大值2，故f x （）在[﹣，]上的值域为[﹣4，2]．20、解：（1）当a =1时，2ln 2ln 1y f x x x ==+（）﹣，令[ln 1]2t x =∈﹣，， ∴22211y t t t =+=﹣（﹣）， 当t=1时，取得最小值0；t=﹣1时，取得最大值4． ∴f x （）的值域为[0，4]； （2）∵ln 4f x a x ≤+（）﹣，∴2ln ln 210xa x a ≤﹣﹣﹣恒成立， 令[ln 1]2t x =∈﹣，， ∴2210t ata ≤﹣﹣﹣恒成立， 设221y t at a =﹣﹣﹣， ∴当时，430max y a =+≤﹣，∴，当时0max y a =≤，﹣， ∴a ＞1， 综上所述，． 21、解：（1）由题意得：f （x ）=sin 2cos sin ?cos sin x x x x x ++（）（﹣），=sin2x+cos2x =2sin （2x+）， 故f x （）的最小正周期T==π（2）由（1）可知，f （θ）=2sin （2θ+）若f （θ）=1，则sin （2θ+）= 又因为0＜θ＜，所以 ＜2θ+＜，则2θ+=，故θ=当θ=时，cos （θ﹣）=cos （﹣）=，∴cos （θ﹣）的值．22、（普通班做）解：（1）由题设可得，解得﹣1＜x ＜1，故函数f x （）定义域为（﹣1，1） 从而：f （﹣x ）=log a [1+（﹣x ）]﹣log a [1﹣（﹣x ）]=﹣[log a （1+x ）﹣log a （1﹣x ）]=﹣f （x ） 故f （x ）为奇函数．（2）由题设可得log a （1+x ）﹣log a （1﹣x ）＞0，即：log a （1+x ）＞log a （1﹣x ） ∵0＜a ＜1，∴y=log a x 为（0，∞）上的减函数 ∴0＜1+x ＜1﹣x ，解得：﹣1＜x ＜0 故不等式f x （）＞0的解集为（﹣1，0）． 22、（特长班做）解：（1）k x k x k x k x k k x x p -++-=-++++-=15)1(215)1(2)(2222由题意知方程015)1(22=-++-k x k x 在()4,1有实数根， 即k x x x )1(1522+=+-在()4,1有实数根，()4,1∈x ，)5,2(1∈+∴x ，则5])1(9)1[(2)1(18)1(5)1(2)1(15222-+++=+++-+=++-=x x x x x x x x k令)5,2(1∈+=x t ，则)5,2(9∈+=t tt y 由重要函数单调性知⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈534,6y ，则⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈543,7k ，故实数的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡543,7.（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+++-≥-=)0(15)1(2)0()(222x x k k x x k x k x q 假设存在满足条件的k 值，依题意知0=k 不合题意，所以0≠k 当0≥x 时，k x k x q -=2)(，则),[)(∞+-∈k x q当0<x 时，15)1(2)(22+++-=x k k x x q ，则),15()(∞+∈x q 记),[∞+-=k A ,),15(∞+=B①当01>x 时，)(x q 在),0(∞+上单调递增，所以要使)()(12x q x q =成立，只能02<x 且B A ⊆,因此有1515-≤⇒≥-k k②当01<x 时，)(x q 在)0,(-∞上单调递减，所以要使)()(12x q x q =成立，只能02>x 且A B ⊆,因此有1515-≥⇒≤-k k综合①②可得15-=k又当15-=k 时B A =,则对于所有的01<x ，A B x q =∈)(1，即存在02>x 使得)()(12x q x q =成立，又)(x q 在),0(∞+上单调递增，所以2x 的值是唯一的。