第三编 导数及其应用 §3.1 变化率与导数、导数的计算基础自测1.在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则xy ∆∆为 （ ）A .21+∆+∆xx B .21-∆-∆xx C .2+∆xD .xx ∆-∆+12答案 C2.已知f (x )=sin x (cos x +1)，则)(x f '等于 （ ）A .cos2x -cos xB .cos2x -sin xC .cos2x +cos xD .cos 2x +cos x 答案 C3.若函数y =f (x )在R 上可导且满足不等式x )(x f '＞-f (x )恒成立，且常数a ,b 满足a ＞b ,则下列不等式一定成立的是 （ ）A .af (b )＞bf (a )B .af (a )＞bf (b )C .af (a )＜bf (b )D .af (b )＜bf (a )答案 B4.（2008·辽宁理，6）设P 为曲线C ：y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P横坐标的取值范围为（ ）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1 B .［-1，0］ C .［0，1］ D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21答案 A5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y =e ax 在点（0，1）处的切线与直线x +2y +1=0垂直，则a = . 答案 2例1 求函数y =12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy =11)(11)(11)(202020202020+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx xy x x x x x x 例2 求下列各函数的导数： （1）;sin 25xxx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)≧,sin sin 23232521xx x x xxx x y ++=++=-≨y ′.cos sin 2323)sin ()()(232252323x xx xx x x xx x -----+-+-='+'+'=（2）方法一 y =（x 2+3x +2）（x +3）=x 3+6x 2+11x +6，≨y ′=3x 2+12x +11. 方法二 'y =[])3)(2)(1()3()2)(1('+++++'++x x x x x x =[])2)(1()2(）1（'++++'+x x x x （x +3）+（x +1）（x +2）=（x +2+x +1）（x +3）+（x +1）（x +2）=（2x +3）（x +3）+（x +1）（x +2）=3x 2+12x +11. （3）≧y =,sin 212cos 2sinx x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--≨.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫⎝⎛='（4）xx x x x xxy -=+--++=++-=12)1)(1(111111 ，≨.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫⎝⎛-=' 例3 （12分）已知曲线y =.34313+x（1）求曲线在x =2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解 （1）≧y ′=x 2,≨在点P （2，4）处的切线的斜率k ='y |x =2=4. 2分 ≨曲线在点P （2，4）处的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0. 4分 （2）设曲线y =34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ，则切线的斜率k ='y |0x x ==20x . 6分≨切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y 8分≧点P （2，4）在切线上，≨4=,34322302+-x x即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ≨,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x≨(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0. 12分1.求y =x 在x =x 0处的导数.解 )())((limlimlim000000000x x x x x x x x x x xx x x xy x x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim00x x x x x =+∆+=→∆2. 求y =tan x 的导数.解 y ′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222xx xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫⎝⎛=3．若直线y =kx 与曲线y =x 3-3x 2+2x 相切，则k = . 答案 2或41-一、选择题 1.若,2)(0='x f 则()kx f k x f k 2)(lim000--→等于 ( )A .-1B .-2C .1D .21答案 A2.（2008·全国Ⅰ理，7）设曲线y =11-+x x 在点（3，2）处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a 等于（ ）A .2B .21 C .21- D .-2答案 D3.若点P 在曲线y =x 3-3x 2+(3-3)x +43上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,322,0C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,32 D .⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,0πππ 答案 B4.曲线y =x 3-2x 2-4x +2在点（1,-3）处的切线方程是 ( )A .5x +y +2=0B .5x -y -2=0C .5x +y -2=0D .5x -y +2=0 答案 C5.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间（1，2）上的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），|f （x 2）-f （x 1）|＜|x 2-x 1|恒成立”的只有 （ ） A .xx f 1)(=B .f (x )=|x |C .f (x )=2xD .f (x )=x2答案 A6.已知曲线S :y =3x -x 3及点P （2，2），则过点P 可向S 引切线，其切线条数为 ( )A .0B .1C .2D .3 答案 D 二、填空题 7.曲线y =x1和y =x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 .答案438. 若函数f (x )的导函数为)(x f '=-x (x +1),则函数g (x )=f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是 . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡a1,1三、解答题9. 求下列函数在x =x 0处的导数. （1）f （x ）=;2,1e 1e 0=++-x xxxx（2）.1,ln )(0223=+-=x xxx x x x f解 （1）∵,)1(e )2(2)1()1(e 2)1()e 2(1e 2)(22x x x x x x x f xx x x --=-'---'='⎪⎭⎫⎝⎛-='∴)2(f '=0. （2）∵,1123)(ln )()(2523xxx x x x f +--='+'-'='--∴.23)1(-='f10. 求曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离.解 设曲线上过点P （x 0,y 0）的切线平行于直线2x -y +3=0，即斜率是2， 则.2122|122|)12(121|0000=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⋅-='===x x x x y x x x x x x 解得x 0=1,所以y 0=0,即点P （1，0），点P 到直线2x -y +3=0的距离为5)1(2|302|22=-++-，≨曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离是5. 11.（2008·海南、宁夏，21）设函数bx ax x f ++=1)( (a ,b ∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y =3.（1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值. （1）解 2)(1)(b x a x f +-='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a因为a,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f（2）证明 在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,00x x x ．由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--．令x =1，得110-+=x x y ，切线与直线x =1交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,100x x ． 令y =x ，得120-=x y ，切线与直线y =x 的交点为)12,12(0--x x ．直线x =1与直线y =x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ．所以，所围三角形的面积为定值2.12. 偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx +e 的图象过点P （0，1），且在x =1处的切线方程为y =x-2，求y =f （x ）的解析式.解 ≧f （x ）的图象过点P （0，1），≨e =1. ①又≧f （x ）为偶函数，≨f （-x ）=f （x ）. 故ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =ax 4-bx 3+cx 2-dx +e .≨b =0，d =0. ② ≨f （x ）=ax 4+cx 2+1.≧函数f （x ）在x =1处的切线方程为y =x -2，≨可得切点为（1，-1）.≨a +c +1=-1. ③ ≧)1('f =(4ax 3+2cx )|x =1=4a +2c ，≨4a +2c =1. ④ 由③④得a =25，c =29-. ≨函数y =f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f§3.2 导数的应用基础自测1.函数y =f (x )的图象过原点且它的导函数g =)(x f '的图象是如图所示的一条直线，则y =f (x )图象的顶点在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 A2.已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x ＞0时，)(x f '＞0,)(x g '＞0，则x ＜0时 （ ）A .)(x f '＞0, )(x g '＞0B .)(x f '＞0, )(x g '＜0C .)(x f '＜0, )(x g '＞0D . )(x f '＜0, )(x g '＜0答案 B3.（2008·广东理）设∈a R ，若函数y =e ax +3x ，∈x R 有大于零的极值点，则 （ ）A ．a ＞-3B ．a ＜-3C ．a ＞-31 D ．a ＜-31答案 B4.函数y =3x 2-2ln x 的单调增区间为 ，单调减区间为 .答案 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞33,0,335.（2008·江苏，14）f (x )=ax 3-3x +1对于x ∈［-1,1］总有f (x )≥0成立，则a = . 答案 4例1 已知f (x )=e x -ax -1. （1）求f (x )的单调增区间；（2）若f (x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a ,使f (x )在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解 )(x f '=e x -a .（1）若a ≤0，)(x f '=e x -a ≥0恒成立，即f (x )在R 上递增.若a >0,e x -a ≥0,≨e x ≥a ,x ≥ln a .≨f (x )的单调递增区间为(ln a ,+≦).（2）≧f （x ）在R 内单调递增，≨)(x f '≥0在R 上恒成立. ≨e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立.≨a ≤（e x ）min ，又≧e x >0，≨a ≤0.（3）方法一 由题意知e x -a ≤0在（-≦，0］上恒成立. ≨a ≥e x 在（-≦，0］上恒成立.≧e x 在（-≦，0］上为增函数.≨x =0时，e x 最大为1.≨a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+≦）上恒成立. ≨a ≤e x 在［0，+≦）上恒成立.≨a ≤1，≨a =1.方法二 由题意知，x =0为f (x )的极小值点.≨)0('f =0,即e 0-a =0,≨a =1. 例2 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,曲线y =f (x ）在点x =1处的切线为l :3x -y +1=0，若x =32时，y =f (x ）有极值.（1）求a ,b ,c 的值；（2）求y =f (x ）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解 （1）由f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,得)(x f '=3x 2+2ax +b ,当x =1时，切线l 的斜率为3，可得2a +b =0 ① 当x =32时，y =f (x )有极值，则⎪⎭⎫⎝⎛'32f =0,可得4a +3b +4=0 ②由①②解得a =2,b =-4.由于切点的横坐标为x =1,≨f (1)=4.≨1+a +b +c =4.≨c =5.（2）由（1）可得f (x )=x 3+2x 2-4x +5,≨)(x f '=3x 2+4x -4, 令)(x f '=0,得x =-2,x =32.当x 变化时，y ,y ′的取值及变化如下表：≨y =f （x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.2795例3 （12分）已知函数f (x )=x 2e -ax (a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ≧f （x ）=x 2e -ax （a ＞0）,≨)(x f '=2x e -ax +x 2·（-a )e -ax =e -ax (-ax 2+2x ). 1分 令)(x f '>0,即e -ax (-ax 2+2x )>0,得0<x <a2.≨f (x )在（-≦,0),⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2a 上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0上是增函数.①当0<a2<1,即a >2时,f (x ）在（1，2）上是减函数,≨f （x ）max =f （1）=e -a . 6分 ②当1≤a2≤2,即1≤a ≤2时，f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,1上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2a 上是减函数，≨f (x )max =f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2=4a -2e -2. 9分③当a2>2时，即0<a <1时，f (x )在（1，2）上是增函数，≨f （x ）max =f （2）=4e -2a .综上所述，当0<a <1时，f (x )的最大值为4e -2a , 当1≤a ≤2时，f (x )的最大值为4a -2e -2,当a >2时，f (x )的最大值为e -a . 12分例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为(12-x )2万件.（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L =(x -3-a )(12-x )2,x ∈［9,11］. (2))(x L ' =(12-x )2-2(x -3-a )(12-x )=(12-x )(18+2a -3x ). 令'L =0得x =6+32a 或x =12（不合题意，舍去）.≧3≤a ≤5,≨8≤6+32a ≤328.在x =6+32a 两侧L ′的值由正变负.所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜29时，L max =L (9)=(9-3-a )(12-9)2=9(6-a ).②当9≤6+32a ≤328，即29≤a ≤5时，L max =L (6+32a )=(6+32a -3-a )［12-(6+32a )］2=4(3-31a )3.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<≤-=.529,3134,293),6(9)(3a a a a a Q答 若3≤a ＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a )（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a )元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )=33134⎪⎭⎫ ⎝⎛-a (万元).1．已知函数f (x )=x 3-ax -1.（1）若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ,使f (x )在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由； （3）证明：f (x )=x 3-ax -1的图象不可能总在直线y =a 的上方. （1）解 由已知)(x f '=3x 2-a ,≧f (x )在（-≦,+≦）上是单调增函数， ≨)(x f '=3x 2-a ≥0在（-≦,+≦）上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立. ≧3x 2≥0,≨只需a ≤0,又a =0时，)(x f '=3x 2≥0, 故f (x )=x 3-1在R 上是增函数，则a ≤0.（2）解 由)(x f '=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立，得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立.≧-1<x <1,≨3x 2<3,≨只需a ≥3.当a =3时，)(x f '=3(x 2-1),在x ∈(-1,1)上，)(x f '<0,即f (x )在（-1，1）上为减函数，≨a ≥3.故存在实数a ≥3,使f (x )在（-1，1）上单调递减.（3）证明 ≧f (-1)=a -2<a ,≨f (x )的图象不可能总在直线y =a 的上方. 2.求函数y =x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解 先求导数,得y ′=4x 3-4x ,令y ′=0,即4x 3-4x =0.解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1. 导数y ′的正负以及f (-2),f (2)如下表:从上表知,当x =±2时,函数有最大值13,当x =±1时,函数有最小值4. 3.设函数f (x )=-x (x -a )2(x ∈R ),其中a ∈R .（1）当a =1时，求曲线y =f (x )在点（2，f (2))处的切线方程；（2）当a ≠0时，求函数f (x )的极大值和极小值. 解 （1）当a =1时，f (x )=-x (x -1)2=-x 3+2x 2-x , f (2)=-2,)(x f '=-3x 2+4x -1,=')2(f -12+8-1=-5,≨当a =1时，曲线y =f (x )在点（2,f (2))处的切线方程为5x +y -8=0.（2）f (x )=-x (x -a )2=-x 3+2ax 2-a 2x ,)(x f '=-3x 2+4ax -a 2=-(3x -a )(x -a ),令)(x f '=0,解得x =3a 或x =a .由于a ≠0，以下分两种情况讨论.①若a >0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：因此，函数f (x )在x =3a 处取得极小值f （3a ），且f （3a ）=-;2743a函数f (x )在x =a 处取得极大值f (a ),且f (a )=0.②若a <0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：因此，函数f (x )在x =a 处取得极小值f (a ),且f (a )=0； 函数f (x )在x =3a 处取得极大值f （3a ）,且f （3a ）=-3274a.4.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )=3 700x +45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为 C (x )=460x +5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )=f (x +1)-f (x ). （1）求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解 （1）P (x )=R (x )-C (x )=-10x 3+45x 2+3 240x -5 000(x ∈N *，且1≤x ≤20); MP (x )=P (x +1)-P (x )=-30x 2+60x +3 275 (x ∈N *,且1≤x ≤19). （2）)(x P '=-30x 2+90x +3 240=-30(x -12)(x +9),≧x >0,≨)(x P '=0时,x =12，≨当0<x <12时，)(x P '>0,当x >12时，)(x P '<0,≨x =12时，P (x )有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.（3）MP (x )=-30x 2+60x +3 275=-30(x -1)2+3 305.所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减， 所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N *.MP (x )是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.一、选择题1.(2009·崇文模拟)已知f （x ）的定义域为R ，f （x ）的导函数)(x f '的图象如图所示，则 （ ） A .f (x )在x =1处取得极小值B.f （x ）在x =1处取得极大值 C .f （x ）是R 上的增函数D .f （x ）是（-∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数答案 C2.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数)(x f '在(a ,b )内的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )内有极小值点（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个 答案 A3.函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g (x )=xx f )(在区间（1，+∞）上一定 （ ）A .有最小值B .有最大值C .是减函数D .是增函数 答案 D4.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（ ）A .6B .8C .10D .12答案 B5.已知f (x )=2x 3-6x 2+a (a 是常数）在［-2，2］上有最大值3，那么在［-2，2］上f (x ）的最小值是 （ ）A .-5B .-11C .-29D .-37 答案 D 6.已知函数f (x )=21x 4-2x 3+3m ,x ∈R ,若f (x )+9≥0恒成立,则实数m 的取值范围是 （ ）A .m ≥23 B .m ＞23 C .m ≤23 D .m ＜23答案 A 二、填空题7.已知函数f (x )=x 3-12x +8在区间［-3，3］上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M -m = . 答案 328.（2008·淮北模拟）已知函数f (x )的导数)(x f ' =a (x +1)·(x -a ),若f (x )在x =a 处取到极大值，则a 的取值范围是 . 答案 （-1，0） 三、解答题 9.设a ＞0,函数f (x )=12++x b ax ,b 为常数.（1）证明：函数f (x )的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f (x ）的极大值为1，极小值为-1，试求a 的值. （1）证明 )(x f '=,)1(2222++--x abx ax,令)(x f '=0,得ax 2+2bx -a =0 (*) ≧Δ=4b 2+4a 2>0,≨方程（*)有两个不相等的实根，记为x 1,x 2(x 1<x 2), 则)(x f '=2221)1())((+---x x x x x a ,当x 变化时，)(x f '与f (x ）的变化情况如下表：可见，f (x )的极大值点和极小值点各有一个.（2）解 由（1）得⎪⎩⎪⎨⎧+=+--=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-=++=②1①1,11)(11)(22221122222111x b ax x b ax x b ax x f x b ax x f 即两式相加，得a (x 1+x 2)+2b =x 2122x -.≧x 1+x 2=-ab 2,≨x 2122x -=0,即(x 2+x 1)(x 2-x 1)=0,又x 1<x 2,≨x 1+x 2=0,从而b =0,≨a （x 2-1）=0，得x 1=-1,x 2=1, 由②得a =2.10.设函数f （x ）=x 3-3ax 2+3bx 的图象与直线12x +y -1=0相切于点（1，-11）.（1）求a ，b 的值；（2）讨论函数f （x ）的单调性.解 （1）求导得)(x f '=3x 2-6ax +3b .由于f （x ）的图象与直线12x +y -1=0相切于点（1，-11）， 所以f （1）=-11，)1('f =-12，即⎩⎨⎧-=+--=+-,12363,11331b a b a 解得a =1，b =-3.（2）由a =1，b =-3得)(x f '=3x 2-6ax +3b =3(x 2-2x -3)=3(x +1)(x -3).由)(x f '>0,解得x <-1或x >3; 又令)(x f '<0,解得-1<x <3.所以当x ∈(-≦,-1)和(3,+≦）时,f (x )是增函数;当x ∈(-1,3)时,f (x )是减函数. 11.已知函数f (x )=x 3-ax 2-3x .（1）若f (x )在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若x =-31是f (x )的极值点，求f （x ）在［1，a ］上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b ，使得函数g （x ）=bx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由.解 （1）)(x f '=3x 2-2ax -3,≧f (x )在［1，+≦）上是增函数, ≨)(x f '在［1，+≦）上恒有)(x f '≥0， 即3x 2-2ax -3≥0在［1，+≦）上恒成立.则必有3a ≤1且)1('f =-2a ≥0,≨a ≤0.(2）依题意，)31(-'f =0，即31+32a -3=0,≨a =4,≨f (x )=x 3-4x 2-3x.令)(x f '=3x 2-8x -3=0，得x 1=-31，x 2=3.则当x 变化时，)(x f ',f (x )的变化情况如下表：≨f (x )在［1，4］上的最大值是f (1)=-6.（3）函数g (x )=bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3-4x 2-3x =bx 恰有3个不等实根 ≨x 3-4x 2-3x -bx =0，≨x =0是其中一个根，≨方程x 2-4x -3-b =0有两个非零不等实根， ≨.37,030)3(416-≠->∴⎩⎨⎧≠-->++=∆b b b b 且≨存在符合条件的实数b ，b 的范围为b >-7且b ≠-3.12. (2008·安徽文，20)已知函数f (x )=23233xx a -+(a +1)x +1，其中a 为实数.（1）已知函数f (x )在x =1处取得极值，求a 的值；（2）已知不等式)(x f '>x 2-x -a +1对任意a ∈（0,+∞)都成立，求实数x 的取值范围.解 （1）)(x f '=ax 2-3x +a +1,由于函数f (x )在x =1处取得极值，所以)1('f =0,即a -3+a +1=0,≨a =1. （2）方法一 由题设知:ax 2-3x +a +1>x 2-x -a +1对任意a ∈(0,+≦)都成立， 即a (x 2+2)-x 2-2x >0对任意a ∈(0,+≦)都成立.设g (a )=a (x 2+2)-x 2-2x (a ∈R )，则对任意x ∈R ,g (a )为单调递增函数(a ∈R )，≨对任意a ∈(0,+≦),g (a )>0恒成立的充分必要条件是g (0)≥0,即-x 2-2x ≥0,≨-2≤x ≤0. 于是x 的取值范围是{x |-2≤x ≤0}.方法二 由题设知:ax 2-3x +a +1>x 2-x -a +1对任意a ∈(0,+≦)都成立， 即a (x 2+2)-x 2-2x >0对任意a ∈(0,+≦)都成立.于是a >2222++x x x 对任意a ∈(0,+≦)都成立，即2222++x x x ≤0,≨-2≤x ≤0.≨x 的取值范围是{x |-2≤x ≤0}.单元检测三一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.（2007·海南、宁夏文，10）曲线y =e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）A .49e 2 B .2e 2 C .e 2 D .2e2答案 D2.（2008·福建文，11）如果函数y =f (x )的图象如图所示，那么导函数y =)(x f '的图象可能是 ( )答案 A3.设f (x )=x 2(2-x ),则f (x )的单调增区间是 （ ） A .(0,)34B .(,34+∞) C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(34,+∞）答案 A4.(2008·广东文，9）设a ∈R ,若函数y =e x +ax ,x ∈R 有大于零的极值点，则 ( )A .a <-1B .a >-1C .a <-e1 D .a >-e1答案 A5.已知函数y =f (x )=x 3+px 2+qx 的图象与x 轴切于非原点的一点，且y 极小值=-4，那么p 、q 的值分别为 （ ）A.6,9B.9,6C.4,2D.8,6答案 A6.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x2y的最大值为（）A.36B.18C.25D.42答案 A7.下列关于函数f(x)=(2x-x2)e x的判断正确的是（）①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};②f(-2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值.A.①③B.①②③C.②D.①②答案D8.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( )A.0＜)2('f＜)3('f＜f(3)-f(2)B.0＜)3('f＜f(3)-f(2) ＜)2('fC.0＜f(3)＜)2('f＜f(3)-f(2)D.0＜f(3)-f(2)＜)2('f＜)3('f答案 B9.若函数f(x)=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）A.a≥3B.a=3C.a≤3D.0<a<3答案 A10.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1时有极值10，则a、b的值为（）A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11B.a=-4,b=11C .a =3,b =-3D .以上都不正确答案 B11.使函数f (x )=x +2cos x 在［0，2π］上取最大值的x 为 （ ）A .0B .6πC .3πD .2π答案 B12.若函数f (x )=x 3-3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则 （ ）A .0<b <1B .b <1C .b >0D .b <21答案 A二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.若f (x )=x 3+3ax 2+3(a +2)x +1没有极值，则a 的取值范围为 .答案 ［-1，2］14.如图是y =f (x )导数的图象，对于下列四个判断：①f (x ）在［-2，-1］上是增函数；②x =-1是f (x )的极小值点；③f (x )在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；④x =3是f (x )的极小值点. 其中判断正确的是 . 答案 ②③15.函数f (x )的导函数y =)(x f '的图象如右图，则函数f (x )的单调递增区间为 .答案 ［-1，0］和［2，+∞）16.已知函数f (x )的导函数为)(x f ',且满足f (x )=3x 2+2x )2('f ,则)5('f = .答案 6三、解答题 (本大题共6小题,共74分) 17.（12分）已知函数f (x )=x 3-21x 2+bx +c .(1)若f (x )在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围;(2)若f (x )在x =1处取得极值，且x ∈［-1,2］时，f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围. 解 （1）)(x f '=3x 2-x +b ,因f (x )在（-≦，+≦）上是增函数，则)(x f '≥0.即3x 2-x +b ≥0, ≨b ≥x -3x 2在（-≦，+≦）恒成立.设g (x )=x -3x 2. 当x =61时，g (x )max =121,≨b ≥121.(2)由题意知)1('f =0，即3-1+b =0，≨b =-2.x ∈［-1,2］时，f (x )<c 2恒成立，只需f (x )在［-1，2］上的最大值小于c 2即可.因)(x f '=3x 2-x -2,令)(x f '=0,得x =1或x =-32.≧f (1)=-23+c ,f (-,21)1(,2722)32c f c +=-+=f (2)=2+c .≨f (x )max =f (2)=2+c ,≨2+c <c 2.解得c >2或c <-1，所以c 的取值范围为（-≦，-1）∪（2，+≦）.18.（12分）设p :f (x )=(x 2-4)(x -a )在(-∞,-2)和(2,+∞）上是单调增函数；q :不等式x 2-2x ＞a 的解集为R .如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围.解 命题p :由原式得f (x )=x 3-ax 2-4x +4a ,≨)(x f '=3x 2-2ax -4,y ′的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线.由条件得)2(-'f ≥0且)2('f ≥0, 即⎩⎨⎧≥-≥+.048084a a ≨-2≤a ≤2.命题q :a x x x >--=-1)1(222≧该不等式的解集为R ，≨a <-1. 当p 正确q 不正确时,-1≤a ≤2;当p 不正确q 正确时，a <-2.≨a 的取值范围是（-≦，-2）∪［-1，2］.19.（12分）已知函数f (x )=x (x -1)(x -a )在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.解 f (x )=x (x -1)(x -a )=x 3-(a +1)x 2+ax ≨)(x f '=3x 2-2(a +1)x +a要使函数f (x )=x (x -1)(x -a )在（2,+≦)上是增函数，只需)(x f '=3x 2-2(a +1)x +a 在（2，+≦）上满足)(x f '≥0即可. ≧)(x f '=3x 2-2(a +1)x +a 的对称轴是x =31+a ,≨a的取值应满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥'≤+0(2)231f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+'>+0)31(231a f a解得:a ≤38.≨a 的取值范围是a ≤38.20.（12分）已知定义在R 上的函数f (x )=-2x 3+bx 2+cx (b ,c ∈R )，函数F (x )=f (x )-3x 2是奇函数，函数f (x )在x =-1处取极值.（1）求f (x )的解析式；（2）讨论f (x )在区间［-3，3］上的单调性. 解 （1）≧函数F (x )=f (x )-3x 2是奇函数, ≨F (-x )=-F (x )，化简计算得b =3.≧函数f (x )在x =-1处取极值，≨)1(-'f =0. f (x )=-2x 3+3x 2+cx , )(x f '=-6x 2+6x +c ≨)1(-'f =-6-6+c =0,c =12. ≨f (x )=-2x 3+3x 2+12x ,（2）)(x f '=-6x 2+6x +12=-6(x 2-x -2).令)(x f '=0,得x 1=-1,x 2=2,≨函数f (x )在［-3，-1］和［2，3］上是减函数，函数f (x )在［-1，2］上是增函数. 21.（12分）如图所示，P 是抛物线C ：y =21x 2上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q ，当点P 在抛物线C 上移动时， 求线段PQ 的中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离. 解 设P （x 0，y 0），则y 0=,2120x ,≨过点P 的切线斜率k =x 0, 当x 0=0时不合题意，≨x 0≠0. ≨直线l 的斜率k l =-011x -=k ,≨直线l 的方程为y -)(1210020x x x x --=.此式与y =221x联立消去y 得x 2+.022200=--x x x设Q （x 1,y 1）,M (x ,y ).≧M 是PQ 的中点，≨⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+---=-=+=12121)1(112202020000010x x x x x x y x x x x 消去x 0，得y =x 2+221x+1 (x ≠0)就是所求的轨迹方程.由x ≠0知x 2>0,≨y =x 2+221x+1≥2.12121·22+=+xx上式等号仅当x 2=221x,即x =±421时成立，所以点M 到x 轴的最短距离是2+1.22.（14分）已知某质点的运动方程为s (t )=t 3+bt 2+ct +d ，下图是其运动轨迹的一部分，若t ∈［21，4］时，s (t )<3d 2恒成立，求d 的取值范围. 解 )(t s '=3t 2+2bt +c .由图象可知，s (t )在t =1和t =3处取得极值. 则)1('s =0, )3('s =0. 即,0627023⎩⎨⎧=++=++c b c b 解得⎩⎨⎧=-=96c b≨)(t s '=3t 2-12t +9=3(t -1)(t -3).当t ∈［21，1）时，)(t s '>0.当t ∈(1,3)时，)(t s '<0. 当t ∈(3,4)时，)(t s '>0.则当t =1时，s (t )取得极大值为4+d . 又s (4)=4+d ， 故t ∈［21，4］时，s (t )的最大值为4+d .已知s (t )<3d 2在［21，4］上恒成立，≨s (t )max <3d 2.即4+d <3d 2. 解得d >34或d <-1.≨d 的取值范围是{d |d >34或d <-1}.。