1 0 1 2 1 1 2 4 1 1 2 4 0 0 5 5 1 0 1 2 1 1 2 4 B 0 0 1 1 0 0 0 0
B有三个非零行， r (1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) 3.
B的1，2，4列是B的一个列极大无关组，
2 4 2 1 2 1 例：在向量组 1 , 2 , 3 中， 3 5 4 1 4 1 首先 1 , 2 线性无关， 又 1 , 2 , 3 线性相关，
3.向量组的秩
定义4.3.3 向量组的极大无关组所含向量的个数， 称为向量组的秩，记作 r (1, 2 ,, p ).
2 4 2 1 2 1 例：向量组 1 , 2 , 3 3 5 4 1 4 1
秩为2.
关于向量组的秩的一些结论： （1）零向量组的秩为0.
（2）向量组 1, 2 ,, p 线性无关
r (1, 2 ,, p ) p
向量组 1, 2 ,, p 线性相关
r (1,2 ,, p ) p （3）若向量组 1, 2 ,, p 可由向量组 1 , 2 ,, t
1 , 2 , 4 是C的一个列极大无关组
且
3 1 2 , 5 1 2 2 4 .
相应地有 3 1 2 ,5 1 2 2 4 .
步骤： （1）向量组 1, 2 ,, p 作列向量构成矩阵A.
B （阶梯形或行最简形矩阵） （2）A
齐次线性方程组
a11k1 a12 k2 a13k3 0 a21k1 a22 k2 a23k3 0
所含方程个数小于未知量的个数，必有非零 解. 因此 1 , 2 ,3 线性相关.
（逆否命题） 定理4.3.2 若线性无关向量组 1, 2 ,, p可由向量组
k11 k22 k33 0.
1 , 2 , 3 可由生成集 1, 2 线性表出： 由已知，
1 a111 2 a12 1 a 13 1 3 a21 2 a22 2 . a23 2
代入上式，整理得
k1a11 k2a12 k3a13 1 k1a21 k2a22 k3a23 2 0.
线性表出，则称向量组A可由向量组B线性表出. 若向量组A和向量组B可相互线性表出，称向量 组A与向量组B等价。 即
i ki11 ki 2 2 kit t , i 1,2,, p
i li11 li 22 lip p , i 1,2,, t
1 2
求向量组的秩和一个极大无关组. 并用该极大 无关组线性表出向量组中的其余向量.
解：
1 1 A 0 0 1 0 0 0
1 0 1 2 1 0 2 1 3 6 0 1 1 2 4 1 1 3 1 0 1 0 1 2 1 0 1 1 2 4 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0
所以 1 , 2 组成的部分组是极大无关组。
还可以验证 2 , 3 也是一个极大无关组。 注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。
极大无关组的一个基本性质：
任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组 都与向量组等价，所以： 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由于等价的线性无关的向量组必包含相同个数的 向量，可得 定理4.3.5 一个向量组的任意两个极大无关组 等价，且所含向量的个数相同。
1 , 2 , 4 是 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的一个极大无关组. 所以，
思考：是否还有其他的极大无关组？
进一步化A为行最简形
1 0 A B 0 0
1 1 1 0 2 C 1 , 2 , 3 , 4 , 5 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
r(A) = B的非零行的行数 （3）求出B的列向量组的极大无关组 （主元列） （4）A中与B的列极大无关组相对应部分的列向量组 即为A的极大无关组。
1, 2 ,, p 可由 1 , 2 ,, t 线性表出; 且 p t , 则向量组1, 2 ,, p 必线性相关.
证明：给出
p 2, t 3
时的证明.
为说明 1 , 2 ,3 线性相关，需找到三个不全 为零的数 k1 , k2 , k3 , 使
§4.3 向量组的极大无关线性组和 秩
问题
（1）一个向量组（含有限多个向量，或无限多 个向量）线性无关的向量最多有几个？
（2）如何找出这一组线性无关向量组？ （3）其余向量与这一组向量有何关系？
1.向量组的线性表出
定义4.3.1 如果向量组 A : 1, 2 ,, p 中的每个向量
i (i 1,2,, p) 都可以由向量组 B : 1, 2 ,, t
1 , 2 ,, t 线性表出，则 p t.
定理4.3.3 两个等价的线性无关向量组，必包含相同 个数的向量.
2.极大线性无关组
定义4.3.2 设 i1 , i2 ,, ir ( II ) 是 1, 2 ,, p ( I ) 的一个部分组. 如果 （1）（II）线性无关， （2）（I）中的任意向量可由（II）线性表出， 则称（II）是（I）的一个极大线性无关组. 在条件（1）下，（2）等价于 （2’）任意r＋1个向量（如果有）都线性相关. 注：（1）只含零向量的向量组没有极大无关组. （2）一个线性无关向量组的极大无关组为其本身.
线性表出，则
r (1, 2 ,, s ) r ( 1, 2 ,, t )
（4）等价的向量组必有相同的秩。 两个有相同的秩的向量组等价吗？ 不一定
思考：两个向量组有相同的秩，并且其中一个 可以被另一个线性表出，则这两个向量组等价.
4.向量组的秩、极大无关组的求法
1 1 0 1 2 1 2 1 3 6 例：1 , 2 , 3 , 4 , 5 0 1 1 2 4 0 1 1 3 1