两个重要的极限的证明
引言：
两个重要极限是高等数学极限理论中的经典内容，第一个重要极限0sin lim 1x x
x
→=的证明，现行教材中
通常采用在单位圆中利用面积关系构造不等式sin cos 1x
x x
<
<，再用夹逼原理证明得到结论。
用极限理论计算圆或扇形面积都涉及到0sin lim 1x x x →=的结论运用，或者运洛比达法则证明极限0sin lim 1x x
x
→=，要利
用导数公式()sin cos x x '=，而这个公式恰是利用0sin lim 1x x
x
→=，因此，这些方法都有循环证明的嫌疑；
第二个主要极限01lim x
x x e x →⎛
⎫+= ⎪⎝⎭的证明，通常作法是，先考虑x 取正整数n 而趋于+∞的情形，设
1n
n x x n ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，用牛顿二项式证明{}n x 单调有界，再用单调有界数列必有极限的准则，证明数列{}n x 的
极限存在，方法比较复杂，特别是有界性的证明需要一定的技巧，所以本文只对两个重要极限作一个简单
的证明。
1．证明：0sin lim
1x x
x
→=
证明：如图（a ）作单位圆。
当0<x<
2
π
时，显然有ΔOAD 面积<扇形OAD 面积<ΔOAB 面积。
即111sin 222x x <<tan x ，sinx<x<tanx 。
除以sinx ，得到1
1sin cos x x x <<
或sin 1cos x x x >>。
（1） 由偶函数性质，上式对02x π-<<时也成立。
故（1）式对一切满足不等式0||2
x π
<<的x 都成立。
由0lim x →cos x =1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0lim x →sin 1x
x
=。
函数f(x)=sin x
x
的图象如图（b ）所示。
2．证明：1
lim(1)n n n
→∞+存在。
证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有
11
(1)n n n b a n b b a
++-<+-或11(1)()n n n b a n b b a ++-<+-，整理后得不等式1[(1)]n n a b n a nb +>+-。
（1）
令a=1+11n +，b=1+1n ，将它们代入（1）。
由于11
(1)(1)(1)(1)11n a nb n n n n +-=++-+=+，
故有111(1)(1)1n n n n ++
>++，这就是说1
{(1)}n n
+为递增数列。
图（a ）
图（b ）
再令a=1，b=1+
12n 代入（1）。
由于11(1)(1)(1)22n a nb n n n +-=+-+=，故有111(1)22n n >+，1
2(1)2n n
>+。
不等式两端平方后有214(1)2n n >+
，它对一切自然数n 成立。
联系数列的单调性，由此又推得数列1
{(1)}n n
+是有界的。
于是由单调有界定理知道极限1
lim(1)n n n →∞+是存在的。
3．证明：1
lim(1)x x e x
→∞+=。
证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：
1
lim (1)x x e x
→+∞+= （1）
1
lim (1)x x e x
→-∞+= （2）
现在先应用2中数列极限1
lim(1)n n e n →∞+=，证明（1）式成立。
设n x ≤<n+1，则有1111111n x n +
<+≤++及1111(1)(1)(1)1n x n n x n
++<+<++， （3） 作定义在[1，+)∞上的阶梯函数。
1()(1)1n f x n =+
+， n x ≤<n+1，11
()(1)n g x n
+=+，n x ≤<n+1。
由（3）有f(x)<1(1)()x g x x +<，x ∈[1，)+∞。
由于1
1(1)
11lim ()lim(1)lim 1111
n n x n n n f x e n n +→+∞→∞→∞+
+=+==++
+
1111
lim ()lim(1)lim(1)(1)n n x n n g x e n n n
+→+∞→∞→∞=+=++=，根据迫敛性定理便得（1）式。
现在证明（2）式。
为此作代换x=-y ，则111111
(1)(1)(1)(1)(1)111x y y y x y y y y --+=-=+=++---
因为当x→-∞时，有y-1→+∞，故上式右端以e 为极限，这就证得1
lim (1)x x e x
→-∞+=。
以后还常常用到e 的另一种极限形式1
lim(1)a
a a e →+=，（4）因为，令1
a x
=
，则x→∞和a→0是等价的，所以，1
01lim(1)lim(1)x
a x a a x →∞→+=+。
结语:
两个重要极限是极限理论中的重要内容，两个重要极限的证明是学习的重点，极限不及时基本的数学基础，而且是数学分析的基石，所以对于我们学习数学专业的学生尤其重要。
我们不仅要记住两个重要极限及其推广形式，还要能熟练的运用这些公式解决极限中遇到的问题。
所以我们要努力地把这部分内容学好。