1 第一章

1 线性空间概念（封闭性）

2线性空间的基与维数 (教材P3例6)

3坐标概念、及求解（教材P3例8）

4 坐标在不同基下的过渡矩阵及坐标变换

5 子空间、列空间、和空间概念，维数定理以及求法（例1）；直和，

直和补空间

6 内积空间概念，标准正交基及标准正交化过程

7 线性变换概念、线性变换的矩阵（概念：教材P22定义1.13，性

质：教材P22定理1.13），计算、过渡矩阵以及不同基下的矩阵（例2, 3）

8 不变子空间，正交变换，酉交变化

例1 设112{,}WL，212{,}WL，其中T)0121(1，

T)1111(1，T)1012(1，T)7311(1，求12WW与

12WW的维数，并求出12WW

解 2121212121,,,,LLLWW

711022-203-5-30121-17110301111121211,,,2121行变换A

B0000310040101-001000031007110121-1

2

得r(A)=r(B)=3,dim(W1+W2)=3. 又因为dim W1=2, dim W2=2,由维数定理 dim (W1  W2)= dim W1+ dim W2-dim（W1+W2）=4-3=1 设,,4433221121xxxxWW化为齐次线性方程组0),,,(142121X.即07110301111121211X

解得

.4,3,2,5,4,3,2,54,,3,4,21214321TTkWWkkkkxkxkxkx即

例2 设3R上线性变换T为

,)2())((3132321213TTxxxxxxxxxxT

求T在基

TTT)111(,)110(,)101(321

下的矩阵B.

解 在自然基321,,eee下，线性变换T的坐标关系式为：

,10111012123213132321xxxxxxxxxxY

根据由变换的坐标式 Y=AX得T在自然基下矩阵

,101110121

3 又从Ceee)()(321321 得过渡矩阵

,111101112,1111101011CC

所以 .4212204511ACCB

3.设3R中，线性变换T为：.3,2,1,iTii其,)1,1,1(,)1,1,2(,)1,0,1(321TTT与.)1,2,1(,)0,1,1(,)1,1,0(321TTT求

（1）T在基321,,下的矩阵。

（2）T在标准基TTTeee)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321下的矩阵。

解

（1）由,),,(),,(321321ATTT可得

101211110111110121),,(),,(13211321TTTA

.442231110101211110131121110

(2) 若把已知向量321321,,,,,看做在标准基321,,eee下的坐标，则T在321,,eee下的矩阵A可由坐标表示式求得

4 .,,332211AAA ),,,(),,(321321A

11321321111110121101211110),,)(,,(A

.241251252131121110101211110

第二章

1 矩阵的对角化

2 Jordan标准型的定义、计算以及变换矩阵P的计算（例1）、性质

3 矩阵多项式概念、计算，化零多项式（caley-hamilton定理），最小多项式概念、性质、计算（例2）

例1. 1,PAPJ求可逆矩阵其中21-12-1-2-112A

解

3-+2-1-1-+2-102-1--22-1--1-112--11-+1-+2-10-+2-11-01-11-11+1AI

1231。求解（A-I）=0.确定1Jordan对应的块数

5 1-1-12-2-20-111x

11211221,1,00,1,1,,,.=1TTTxkkVkkkk得由于有两个线性无关的特征向量，所以=1ordanJ对应有两个块，

110010001J

求变换矩阵P。在12-=vAI中选取适当的特征向量，使（）有解（相容）即

12122-,kAIkkk

有解。对增广矩阵AI做初等行变换

1112122111111222000,1110000kkkkkkk

12121,0,1,=1,2-1.TrAIrAIkkkk为使则取得特征向量，由非其次线性方程组：

21,2-1TAI，

解得2=1,0,0T

=12=1,1,0,TVP取中特征向量组成矩阵，

1122111110,,201,010.100001PPAPJ则

例2. 0004100-4=.010-30014AAAm设，求矩阵的最小多项式

解 2112.IA

6 由于12121,1fAJordanJordan为的单根，因此相应的标准形中关于，的块有

21.nn1

对342,23,rankAI所以2对于2431nrankAI个Jordan块，只能为21,02所以32,n，即有

11.212AJ

由定理2.9,得2112Am.

第三章

1 矩阵的LU,LDV分解定义、性质以及计算

2 矩阵的满秩分解概念（教材定义 3.2）、计算（第二种方法例1，第三种方法）

3 矩阵的谱概念、性质、谱分解

4 矩阵的UR分解，Schur分解

5 正规矩阵的概念、性质，正规矩阵的谱分解

6 矩阵的奇异值概念（定义3.12，定义3.4），矩阵的奇异值分解（例2），逼近定理(定理3.15)，矩阵的极分解

例1 对A做满秩分解

1012121122212422A

解：用满秩分解的方法二：

由0CPA，  ,求得P与C。

7

AI 



0CP

1000110011100201p，10001100121102201p

取P-1的前两列构成B，则

A BC

2 201120A,求A的奇异值分解。

解：（1） 计算AT及A的奇异值i，

.T522AA=240201

37ITAA（）（） ，故HAA的特征值为7,3,0，A的正奇异值为i7，23。

（2）求TAA得n 个标准正交特征向量。

对于17求得，1T（3，2，1），1114T（3，2，1）

对于23求得，2T（1，-2，1），216T（1，-2，1）

8 对于30求得，3T（2，-1，-4），3121T（2，-1，-4）

可得酉矩阵

123 V=（，，），121V=（，）。

（3） 计算-111U=AV

31111146020122722120111146011322146

1123,UUV=（，，），则有，730HVA=U。

第四章

1 满秩矩阵的左逆与右逆的概念（教材定义4.1，定理4.2, 4.3），单侧方程组

2 广义减号逆概念（教材定义4.2）、计算、性质

3 加法广义逆（M-P广义逆）概念（教材定义4.3）、计算（教材定理4.10, 4.11，例1, 2）

例1 设101220211A，求A的M-P加法逆。

解：12/1102/100010001102111000100011012202113IA，

9 解得，11102000112/1102/100011102111PPC

所以，110211112001112001BCAB

11()()HHHHACCCBBB=1025110 1111131202 -191221

131621181415275 -2 6

例2 求矩阵000110101A和100011B的M-P加法逆。

解：（1）)1)(3(211110101AAIAAHH

所以，.2)(,0,1,3321Arank由此

1003,0,1,3321

又AAH的特征值,0,1,3321对应的特征向量分别是

111,011,211321

由于AAH是Hermite矩阵，321,,是交的，只需将其标准化， 解得正交矩阵

31062312161312161V