xk xk 1 xk1 f ( x)dx 2 [ f ( xk 1 ) f ( xk )] , k 1, ... , n n n 1 b h h f ( x )dx [ f ( xk 1 ) f ( xk )] f (a ) 2 f ( xk ) f (b) a 2 2 k 1 k 1
R[ f ] 1 b '' 1 2 f ( x)dx [ f ' (b) f ' (a)] h 12 a 12
2阶收敛
4阶收敛
6阶收敛
例1：计算

4 2 0 1 x
1
dx 用8等分的梯形公式和4等分的Simpson公式计算
运算量基本 相同，都用 了9个点
7 1 解： T8 f (0) 2 f ( xk ) f (1) 16 k 1
§4 龙贝格积分 /* Romberg Integration */
复化梯形公式算法简单，但精度较差，收敛速度（2阶收敛） 较慢，如何提高收敛速度？
4m 1 , m 注：按上面规律，可以构造线性组合系数为 m 4 1 4 1 的新的积分公式，但当m>4时，前一个系数接近于1，后一个 系数接近于0，这样构造出的新公式与前一个公式结果差别不 大，反而增加计算量，因此实际上常做到Romberg公式为止。
n
2
收敛速度与误差估计：
定义
若一个复化积分公式的误差满足
lim
h 0
则称该公式是 p 阶收敛的。 复化梯形公式：
R[ f ] 且C C p h
0，
h2 h 2 b '' R[ f ] (b a) f '' ( ) f ( x)dx /*中值定理*/ 12 12 a
sin x 例：分别用复化梯形和复化Simpson求积公式计算积分I dx, 0 x 1 要求误差不超过＝ 10 6 2 1 解：利用max | f ( k ) ( x) | 0 x 1 k 1 1.复化梯形公式
1
I C4 0.946083004
事后误差估 计式，可用 来判断迭代 是否停止。
xk
= Tn
h h ( k )] (b a ) k 1 R[ f ] [ f 12 12 n k 1 h2 (b a ) f ( ), (a , b ) 12
n
3
2
f (

n
k
)
/*中值定理*/
ba 复化 Simpson 公式： h n , xk a k h
§3 复合求积 /* Composite Quadrature */
高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。 复合梯形公式： h
ba , xk a k h n ( k 0, ... , n)
在每个 [ xk 1 , xk ] 上用梯形公式：
其中 x k
k 8
= 3.138988494
S4 1 f (0) 4 f ( x k ) 2 f ( x k ) f (1) 其中 x k k 24 odd even 8
= 3.141592502
Q: 给定精度 ，如何取 n ?
例如：要求 | I Tn | ，如何判断 n = ？
4
= Sn
b a h (4) R[ f ] f ( ) 180 2
注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数，
这时 h b a h , xk a k，有 h
h S n [ f (a ) 4 f ( xk ) 2 f ( xk ) f (b)] 3 odd k even k
( k 0, ... , n)

xk 1 xk
h f ( x ) dx [ f ( xk ) 4 f ( xk 1 ) f ( xk 1 )] 2 6
xk
xk1
2
x k 1
4 4 4
4 4

b
a
n 1 n 1 h f ( x)dx [ f (a) 4 f ( xk 1 ) 2 f ( xk ) f (b)] 2 6 k 0 k 1