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例1：单自由度系统有阻尼受迫振 动相似准数的导出。振动微分方 程如下：
d2y dy m c kyp
dt2 dt
解：对于原型系统振动微分方程
mp
d2yp dt2p
cp
dyp dtp
kpyp
pp
对于模型系统振动微分方程
mmdd2tym 2mcmddytm m学习k交m流yPm PT pm
St
tm tp
时间相似常数
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6.边界条件相似
要求模型与原型在与外界接触的区域内的各种条 件（支承条件、约束条件和边界上的受力情况等） 保持相似。
与原型结构构 造相同的条件
7.初始条件相似－动力问题
要求模型与原型在初始时刻的运动参数相似。
初始几何位置、质点的位移、速度和加速度。模型
上的速度、加速度和原型的速度和加速度在对应的
➢相似常数:在两相似现象中，两个对应的物理量之比为 常数。
➢相似指标:由彼此相似现象中各相似常数组成的无量纲 量,彼此相似的现象都满足相似指标等于1的条件。
➢相似准数:在所有相似的现象中是一个不变量，无量纲 量,所有相似的系统相似准数应相等。
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2.3.2 方程分析法
利用描述现象的基本微分方程组导出相似准数（判据）。
(3)
力相似常数
质量相学习似交常流P数PT
加速度相似常数
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将(3)代入(2)，与(1)相比有：
相似指标
SF SmSa
Fp
mpap
SF 1
(4)
SmSa
（4）式为判别模型与原型是否相似的条件，称为相似指标，若两 个物理系统现象相似，则它们的相似指标为1。
将(3)代入(4) Fp Fm idem mpap mmam
S
m p
E Em Pm P SES
S
m p
Gmm GPP
SGS
S
m p
S,SE,S,S,SG,S,S —正应力、弹性应 模变 量、 、正
剪应力、剪切应 模变 量和 、泊 剪松比数 的。 相似常
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5.时间相似
对于结构的动力问题，在随时间变化的过程中，要 求模型与原型在对应时刻进行比较，要求相对应的 时间成比例。
SI
Im Ip
1 12
bm
h3 m
1 12
bp
h3 p
Sl4
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2.质量相似
➢ 要求模型与原型结构对应部分质量成比例。 ➢ 质量之比称为质量相似常数。
质量密度相似常数
Sm
mm mp
S
m p
对于具有分布质量部分，用质量密度ρ表示。
S
Sm SV
Sm S3
l
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3.荷载相似
无量纲值
称这一无量纲量为相似准数，也称相似判决，相似系统相似
准数相同
去掉角标，写成一般形式:
F idem
ma
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第一相似定理:
彼此相似的现象，以相似常数组成的受现象制约的相 似指标等于1或相同文字组成的相似准数为一不变量。
已知系统相似
确定相似条件
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几个重要概念小结
有标量也在对应点和对应时刻成比例
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2.2.2 物理量的相似
1.几何相似 要求模型与原型结构之间所对应部分的尺寸成比例。 几何尺寸之比称为几何相似常数。
Sl
lm lp
bm bp
hm hp
Sl 几 何 相 似 常 数 l、 b、 h结 构 的 长 、 宽 、 高 三 个 方 向 的 线 性 尺 寸
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模型试验的优点： 经济性好－模型尺寸小 针对性强－突出主要因素，略去次要因素 数据准确－室内试验 模型试验的应用：
代替大型结构试验或作为大型结构试验的辅助试验。 作为结构分析计算的辅助手段。 验证和发展结构计算理论。
模型试验的理论基础——结构相似理论
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2.2 模型的相似
教学课程《实验应力分析》
第二章 结构相似理论
2012年11月16日
Байду номын сангаас
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2.1 概述
力学分析
理论计算 实验研究
原型试验 模型试验
模型试验是将发生在原型中的力学过程,在物理相
似条件下，经缩小(或放大)后在模型上重演。对
模型中的力学参数进行测量、记录、分析，并根
据相似关系换算到原型中去，达到研究原型力学
m 、 p分 别 代 表 模 型 和 原 型
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对一矩形截面，模型和原型结构的面积相似常数、 截面抵抗矩相似常数和惯性矩相似常数分别为
面积相似常数
截面抵抗矩相 似常数
惯性矩相似常 数相似常数
SA
Am Ap
hmbm hp bp
Sl2
SW
Wm Wp
1 6
bm
h2 m
1 6
bp
h2 p
Sl3
具体步骤：
➢第一步：将方程对于原型写出，加角标 p； ➢第二步：将方程对于模型写出，加角标 m； ➢第三步：定义模型和原型同名物理量间的相似常数； ➢第四步：将模型方程中各物理量以相似常数和原型中 对应物理量表示。 ➢第五步：比较原型与模型方程，消去原型方程中的各 物理量，即得到无量纲形式的相似指标和相应的相似准 数（判据）。
➢ 要求模型与原型在各对应点所受的荷载方向一致，
大小成比例。
集中荷载相似常数
Sp P Pm p A Am P m P SSl2
线荷载相似常数
S
S
S l
面荷载相似常数
Sq S
弯矩或扭矩相似常数
SM S Sl3
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4.物理相似
要求模型与原型的各相应点的应力和应变、刚度 和变形间的关系相似。
2.2.1基本概念
1. 物理量相似
物理量和 物理现象 的相似
各种物理量，如几何，质量，力等。
2. 物理现象相似
是指除了几何相似之外，在进行物理过程的系统中， 在相应的地点（位置）和对应的时刻，模型与原型的 各相应物理量之间的比例应保持常数。
在两个系统中，所有向量在对应点和
对应时刻方向相同、大小成比例，所
过程的目的。
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模型试验
Akashi Kaikyo Bridge, Japan
明石头海峡大桥，日本
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3
模型试验
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4
模型试验
航空航天领域
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原型试验
日本，E-Defense振动系统， “足尺三维振动破坏实验设
施”
UCSD-NEES 室外振动台实验
位置和对应的时刻保持一定的比例，并且运动方向
一致。
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2.3.结构相似定理
2.3.1.第一相似定理
以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质
对于原型：
Fp Mpap
(1)
对于模型
Fm Mmam
(2)
如果模型与原型相似，则各对应物理量成比例：
Fm SF Fp
mm Smmp
am Saap