4 万有引力理论的成就[学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.理解“计算天体质量”的基本思路.3.了解地球对地面物体的万有引力与重力的区别和联系.一、计算天体的质量 1.称量地球的质量(1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力. (2)关系式：mg ＝G Mm R2.(3)结果：M ＝gR 2G，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量.2.太阳质量的计算(1)思路：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力.(2)关系式：GMm r 2＝m 4π2T2r .(3)结论：M ＝4π2r3GT2，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r 就可以计算出太阳的质量.(4)推广：若已知卫星绕行星运动的周期T 和卫星与行星之间的距离r ，可计算行星的质量M . 二、发现未知天体1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星.2.其他天体的发现：近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体. [即学即用]1.判断下列说法的正误.(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.(×)(2)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量.(×) (3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.(×) (4)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的.(×) (5)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道.(×)(6)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.(√) 2.已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，重力加速度g ＝9.8 m/s 2，地球半径R ＝6.4×106m ，则可知地球的质量约为( ) A.2×1018kg B.2×1020kg C.6×1022 kg D.6×1024kg答案 D一、天体质量和密度的计算 [导学探究]1.卡文迪许在实验室测出了引力常量G 的值，他称自己是“可以称量地球质量的人”. (1)他测量的依据是什么？(2)若还已知地球表面重力加速度g ，地球半径R ，求地球的质量和密度.答案 (1)若忽略地球自转的影响，在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力.(2)由mg ＝G Mm R 2，得：M ＝gR 2Gρ＝M V ＝M 43πR3＝3g4πGR.2.如果知道地球绕太阳的公转周期T 和它与太阳的距离r ，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？答案 由Gm 地M 太r 2＝4π2T 2m 地r 知M 太＝4π2r 3GT 2.由密度公式ρ＝M 太43πR 太3可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径.[知识深化] 天体质量和密度的计算方法“自力更生法”“借助外援法”情景已知天体(如地球)的半径R 和天体(如地球)表面的重力加速度g 行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动 思路物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg ＝G Mm R2行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G Mm r 2＝m (2πT )2r (或G Mm r 2＝m v 2r )(或G Mm r 2＝mω2r )天体质量天体(如地球)质量：M ＝gR 2G中心天体质量：M ＝4π2r 3GT 2(M ＝rv 2G或M ＝r 3ω2G) 天体密度ρ＝M43πR 3＝3g 4πRG ρ＝M43πR 3＝3πr3GT 2R3(以T 为例)说明利用mg ＝GMmR 2求M 是忽略了天体自转，且g 为天体表面的重力加速度由F 引＝F 向求M ，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周运动的天体质量例1 假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星.若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T 1，已知万有引力常量为G . (1)则该天体的密度是多少？(2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h ，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T 2，则该天体的密度又是多少？答案 (1)3πGT 1 2 (2)3π(R ＋h )3GT 2 2R3解析 设卫星的质量为m ，天体的质量为M .(1)卫星贴近天体表面运动时有G Mm R 2＝m 4π2T 1 2R ，M ＝4π2R3GT 12根据数学知识可知天体的体积为V ＝43πR 3故该天体的密度为ρ＝M V ＝4π2R 3GT 1 2·43πR3＝3πGT 1 2.(2)卫星距天体表面的高度为h 时，忽略自转有G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T 22(R ＋h ) M ＝4π2(R ＋h )3GT 22ρ＝M V ＝4π2(R ＋h )3GT 2 2·43πR3＝3π(R ＋h )3GT 2 2R 3注意区分R 、r 、h 的意义：一般情况下，R 指中心天体的半径，r 指行星或卫星的轨道半径，h 指卫星距离星球表面的高度，r ＝R ＋h .针对训练 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量的比值约为( )A.110 B.1 C.5 D.10 答案 B解析 由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得M ∝r 3T2已知r 51r 地＝120，T 51T 地＝4365，则M 51M 地＝(120)3×(3654)2≈1，B 项正确. 例2 有一星球的密度与地球相同，但它表面处的重力加速度是地球表面重力加速度的4倍，求：(1)星球半径与地球半径之比； (2)星球质量与地球质量之比. 答案 (1)4∶1 (2)64∶1解析 (1)由GMm R 2＝mg 得M ＝gR 2G ，所以ρ＝M V ＝gR 2G43πR 3＝3g 4πGR ，R ＝3g 4πGρ，R R 地＝3g 4πGρ·4πGρ地3g 地＝g g 地＝41. (2)由(1)可知该星球半径是地球半径的4倍.根据M ＝gR 2G 得M M 地＝gR 2G ·G g 地R 地 2＝641. 二、物体所受地球的引力与重力的关系 1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系地球在不停地自转，地球上的物体随着地球自转而做圆周运动，做圆周运动需要一个向心力，所以重力不直接等于万有引力而近似等于万有引力，如图1，万有引力为F 引，重力为G ，自转向心力为F ′.当然，真实情况不会有这么大偏差.图1(1)物体在一般位置时F ′＝mrω2，F ′、F 引、G 不在一条直线上，重力G 与万有引力F 引方向有偏差，重力大小mg <G MmR2.(2)当物体在赤道上时，F ′达到最大值F max ′，F max ′＝mRω2，此时重力最小；G min ＝F 引－F max ′＝G Mmr2－mRω2.(3)当物体在两极时F ′＝0G ＝F 引，重力达最大值G max ＝G Mmr2.可见只有在两极处重力等于万有引力，其他位置重力小于万有引力.(4)由于地球自转角速度很小，自转所需向心力很小，一般情况下认为重力近似等于万有引力，mg ≈G MmR2，g 为地球表面的重力加速度.2.重力与高度的关系若距离地面的高度为h ，则mg ′＝G Mm(R ＋h )2(R 为地球半径，g ′为离地面h 高度处的重力加速度).所以在同一纬度距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小. 例3 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面.宇航员从距该星球表面高度为h 处，沿水平方向以初速度v 抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L ，已知该星球的半径为R ，引力常量为G .求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的平均密度. 答案 (1)2hv 2L 2 (2)3hv22πGRL2解析 (1)小球在星球表面做平抛运动， 有L ＝vt ，h ＝12gt 2，解得g ＝2hv2L2.(2)在星球表面满足G MmR2＝mg 又M ＝ρ·43πR 3，解得ρ＝3hv 22πGRL 2.1.(天体质量的计算)已知引力常量G 、月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T ，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( ) A.月球的质量 B.地球的质量 C.地球的半径 D.地球的密度答案 B解析 由天体运动规律知G Mm R 2＝m 4π2T 2R 可得地球质量M ＝4π2R3GT 2，由于不知地球的半径，无法求地球的密度，故选项B 正确.2.(天体的质量和密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( ) A.测定飞船的运行周期 B.测定飞船的环绕半径 C.测定行星的体积 D.测定飞船的运行速度答案 A解析 取飞船为研究对象，由G Mm R 2＝mR 4π2T 2及M ＝43πR 3ρ，知ρ＝3πGT2，故选A.3.(地球表面的万有引力与重力的关系)地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )A.物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处B.赤道处的角速度比南纬30°大C.地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大D.地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力 答案 A解析 由F ＝G MmR2可知，若地球看成球形，则物体在地球表面上任何位置受到的地球引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个是物体随地球自转所需的向心力.在赤道上，向心力最大，重力最小，A 对.地球各处的角速度均等于地球自转的角速度，B 错.地球上只有赤道上的物体向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C 错.地面上物体随地球自转的向心力是万有引力与地面支持力的合力，D 错.4.(物体的运动与万有引力的结合)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处.(取地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2，空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度g 星的大小； (2)已知该星球的半径与地球半径之比为R 星R 地＝14，求该星球的质量与地球质量之比M 星M 地. 答案 (1)2 m/s 2(2)180解析 (1)在地球表面以一定的初速度v 0竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处， 根据运动学公式可有t ＝2v 0g.同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t 小球落回原处，则5t ＝2v 0g 星根据以上两式，解得g 星＝15g ＝2 m/s 2(2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即mg ＝GMm R 2，所以M ＝gR 2G由此可得，M 星M 地＝g 星g ·R 星 2R 地2＝15×142＝180.课时作业一、选择题(1～8为单项选择题，9～10为多项选择题)1.关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法中正确的是( ) A.天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律、经过大量计算后发现的B.在18世纪已经发现的7个行星中，人们发现第七个行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一个行星，是它的存在引起了上述偏差C.海王星是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经大量计算而发现的D.冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维耶合作研究后共同发现的 答案 B解析 天王星是通过观察发现的，选项A 错误，B 正确；海王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维耶合作研究后共同发现的，选项C 、D 错误.2.地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，若高空中某处的重力加速度为g2，则该处距地球表面的高度为( )A.(2－1)RB.RC.2RD.2R答案 A解析 万有引力近似等于重力，设地球的质量为M ，物体质量为m ，物体距地面的高度为h ，分别列式GMm R 2＝mg ，G Mm (R ＋h )2＝m g 2，联立得2R 2＝(R ＋h )2， 解得h ＝(2－1)R ，选项A 正确.3.据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N 的人在这个行星表面的重量将变为960 N.由此可推知，该行星的半径与地球半径的比值为( ) A.0.5 B.2 C.3.2 D.4 答案 B解析 若地球质量为M 0，则“宜居”行星质量为M ＝6.4M 0，由mg ＝G Mm r 2得m 0g m 0g ′＝M 0r 02·r 2M ＝600960，所以rr 0＝600M960M 0＝600×6.4M 0960M 0＝2，选项B 正确.4.火星的质量和半径分别约为地球的110和12，地球表面的重力加速度为g ，则火星表面的重力加速度约为( ) A.0.2g B.0.4g C.2.5g D.5g答案 B解析 在星球表面有mg ＝GMm R 2，设火星表面的重力加速度为g 火，则g 火g ＝M 火R 地2M 地R 火2＝0.4，故B正确.5.2015年7月23日，美国宇航局通过开普勒太空望远镜发现了迄今“最接近另一个地球”的系外行星开普勒－452b ，开普勒－452b 围绕一颗类似太阳的恒星做匀速圆周运动，公转周期约为385天(约3.3×107s)，轨道半径约为1.5×1011m ，已知引力常量G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，利用以上数据可以估算类似太阳的恒星的质量约为( ) A.1.8×1030kg B.1.8×1027kg C.1.8×1024 kg D.1.8×1021kg答案 A解析 根据万有引力充当向心力，有G mM r 2＝mr 4π2T 2，则中心天体的质量M ＝4π2r3GT 2≈4×3.142×(1.5×1011)36.67×10－11×(3.3×107)2 kg≈1.8×1030kg ，故A 正确.6.若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T 和R ，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t 和r ，则太阳质量与地球质量之比为( )A.R 3t 2r 3T 2 B.R 3T 2r 3t 2 C.R 3t 2r 2T3 D.R 2T 3r 2t3 答案 A解析 无论地球绕太阳公转，还是月球绕地球公转，统一的公式为GMm R 0 2＝m 4π2R 0T 0 2，即M ∝R 03T 02，所以M 日M 地＝R 3t 2r 3T2.7.“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t 通过的弧长为l ，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图1所示.已知引力常量为G ，由此可推导出月球的质量为( )图1A.l 3Gθt 2B.l 3θGt 2C.l Gθt 2D.l 2Gθt 2答案 A解析 根据弧长及对应的圆心角，可得“嫦娥三号”的轨道半径r ＝l θ，根据转过的角度和时间，可得ω＝θt，由于月球对“嫦娥三号”的万有引力提供“嫦娥三号”做圆周运动的向心力，可得G Mm r 2＝mω2r ，由以上三式可得M ＝l 3Gθt 2.8.假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d (矿井宽度很小).已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( ) A.1－dRB.1＋d RC.⎝⎛⎭⎪⎫R －d R 2D.⎝⎛⎭⎪⎫R R －d 2答案 A解析 设地球的密度为ρ，地球的质量为M ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g ＝GM R 2.地球质量可表示为M ＝43πR 3ρ.质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，矿井下以(R －d )为半径的地球的质量为M ′＝43π(R －d )3ρ，解得M ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R －d R 3M ，则矿井底部处的重力加速度g ′＝GM ′(R －d )2，则矿井底部处的重力加速度和地球表面的重力加速度之比为g ′g ＝1－dR，选项A 正确. 9.关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是( ) A.地面附近物体所受到的重力就是万有引力 B.重力是由于地面附近的物体受到地球吸引而产生的 C.在不太精确的计算中，可以近似认为重力等于万有引力D.严格说来重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力 答案 BCD10.一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r ，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，已知地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，则地球的质量可表示为( ) A.4π2r3GT 2B.4π2R3GT 2C.gR 2GD.gr 2G答案 AC解析 根据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得，M ＝4π2r3GT 2，选项A 正确，选项B 错误；在地球的表面附近有mg＝G Mm R 2，则M ＝gR 2G，选项C 正确，选项D 错误.二、非选择题11.若宇航员登上月球后，在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地.若羽毛和铁锤是从高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面.已知引力常量为G ，月球的半径为R .求：(不考虑月球自转的影响) (1)月球表面的自由落体加速度大小g 月. (2)月球的质量M . (3)月球的密度.答案 (1)2h t 2 (2)2hR 2Gt 2 (3)3h 2πRGt211 解析 (1)月球表面附近的物体做自由落体运动h ＝12g 月t 2，月球表面的自由落体加速度大小g 月＝2h t2. (2)因不考虑月球自转的影响，则有G Mm R 2＝mg 月，月球的质量M ＝2hR 2Gt2. (3)月球的密度ρ＝M V ＝2hR 2Gt 243πR 3＝3h 2πRGt 2. 12.如图2所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面发射后，以加速度g2竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为发射前压力的1718.已知地球半径为R ，求火箭此时离地面的高度.(g 为地面附近的重力加速度)图2答案 R 2解析 火箭上升过程中，测试仪器受竖直向下的重力和向上的支持力，设高度为h 时，重力加速度为g ′，由牛顿第二定律得1718mg －mg ′＝m ×g 2，解得g ′＝49g ， 由万有引力定律知：G Mm (R ＋h )2＝mg ′，GMm R 2＝mg ， 解得h ＝R2.。