加权平均值及中误差 在测量实践中，除了同精度观测外，还有不等精度观测。

如果对某观测值得观测值在不同的观测条件下进行的，即对其进行了n 次不等精度观测，在这种情况下，由于观测条件不同，求观测值的最或然值就不能简单地用算术平均值来求解，而是采用另一种方法即加权平均值方法求解。

(一)权和单位权 所谓“权”，就是不同精度观测值在计算未知量的最或然值时所占的“比重”。

一般观测值误差愈小，精度愈高，说明其值愈可靠，权就愈大，因此，权定义：观测值或观测值函数的权（通常以P 表示）与中误差m 的平方成反比。

设不等精度观测值n L L L ,,,21 的中误差分别为n m m m ,,,21 ，则i L 权的可定义为：
2
i i m C P = 式中C ——任意常数；4—39
,2,1=i n
若令第一次观测值的权作为标准，并令其为1，即取21m C =，则
221222122
1211,,,1n n m m P m m P m m P ==== 4—40
等于1的权称为单位权，权等于1的对应的观测值中误差称为单位权中误差。

一般用μ表示，习惯上取一次观测、一个测回、一公里线路等的测量误差为单位权中误差。

这样（4-40）式另一表示方式为：
2
2i i m P μ= 4—41
由上式得到观测值或观测值函数的中误差的另一种表示方式为
i i p m 1μ= 4—42
权具有如下性质：
① 权与中误差同为衡量观测精度的指标，中误差表示观测值的绝对精度；权是一个相对性数值，表示观测值之间的相对精度关系，对单一观测值而言，权无意义;
② 权与中误差平方成反比，中误差越小，权越大，表示观测值精度越高;
③ 权始终取正号;
④ 权的大小与常数C 的选值不同而不同，但观测值间权的比例关系不变，同一个研究问题只能选取一个C ，其取值应使 p 值便于平差时 使用。

(二)测量中常用的定权方法
(1) 算术平均值 的权 由（4--37）和 (4--41) 式知，n 个等精度观测值算术平均值的中误差n m M /
= ,当μ=m 时有： n n
m m M P L ===/22
22μ 4--43 即当取一次观测值权为１时，n 个观测值算术平均值的权为 n 。

(2) 角度观测时定权
与算术平均值的权同理，当令一测回观测的角度中误差为单位权中误差时，观测n 个测回的角度观测值的权为n 。

同理，不同测回数的角度观测值，其权之比为测回数之比。

(3) 水准测量中定权
设－站观测高差精度相同，其中误差为m 站，则站数为N i 的某条水准路线的观测高差中误差为
i i N m m = (I=1,2,…,n)
若取C 站的高差中误差为单位权中误差，即c m =μ，依（4-41）式，某水准路线的权为
i
i N c P = 4--44 同理，若取C （Km ）路线高差中误差为单位权中误差，则长度为L i 的某水准路线的权为 i i L c
P = 4--45
因此，在水准测量中，若每一站高差观测精度相同，则各水准路线观测高差的权与路线测站数或路线长度成反比。

(4) 距离丈量时定权
设1Km 距离的丈量中误差为m ，则sKm 距离的丈量中误差为s m m s =，若取cKm 的中误差为单位权中误差，则丈
量sKm 的权为
()()s c s m c m P s ==22 4--46
因此，在距离丈量中距离观测值的权与距离长度成反比。

（三）加权平均值及其中误差
若对某一量进行n 次不等精度观测，现采用加权平均的方法，求解观测值的最或然值。

设观测值为n L L L ,,,21 ；中误差为n m m m ,,,21 ；权为n P P P ,,,21
设2
2i i m P μ=，其加权平均值为
[][]P PL P P P L P L P L P x n
n
n =++++++= 212211 4—47 由误差传播定律有：加权平均值的中误差： [][][]22222221212n n x m P P m P P m P P m ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= = []
()222222212121n n m p m p m p p +++ 4—48 又因i i P m 22
μ=，代入上式，化简得加权平均值的中误差：
[]p m x 22
μ= []P m x μ= µ 为单位权中误差 4—49
又因 x x P m 22
μ=,则：加权平均值的权等于各观测值的权之和：
[]P P x =
同样，(4-47)式知，不等精度观测值的改正值还满足下列条件：（等精度观测值的改正数： [v]=0）
[][][][]0)(=-=-=pL x p L x p pv 4—50
当观测值真值未知，按不等精度观测值改正数计算单位权中误差μ，可类似用观测值改正数求观测值中误差公式： []
1-±=n PVV μ 4—51
式中:V —观测值改正数。

计算出单位权中误差μ后，如果某一观测值的权已知，可由（4-42）计算该观测值或观测值函数中误差。

算术平均值 加权平均值 = [L]/n [pL]/[p] 权 p x n [p] 中误差 m x m/√n µ /√[p] µ 为单位权中误差
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
例7: 对某一角度，用同样仪器，分别进行了三组观测：第一组2个测回，第二组4个测回，第三组6个测回，得到各组角度观测值平均值分别为：60°12′13″,60°12′15″和60°12′17″。

设以2测回平均值观测值中误差为单位权中误差，求第三组观测6个测回中误差、该角最或然值及其中误差。

解：设观测一测回中误差为m ，由（4-37）式n
m M =，则以上第一、二、三组观测值平均值中误差分别为
21m m =，41m m =，6
1m m =， 设以第一组2测回平均值观测值中误差为单位权中误差，则以上三组平均值权分别为：
3,2,1232132
22121=====m m p m m p p
由（4-47）得到观测值加权平均值（最或然值）为
[][]
7.152160'''︒==P PL x 第一组2测回平均值观测值中误差，即单位权中误差为：
[]
133.13.137.07.027.27.211
-''⨯''⨯+''⨯''⨯+''⨯''⨯=-±=n PVV μ
6.22
34.13''==μ
由（4-42）式，第三组观测6个测回均值中误差为： 5.1316.2122''=''==p m μ ？？？？？？？？？
加权平均值即最或然值中误差为：
[]1.16
6.2''=''==P m x μ 最或然值结果为
x = 60°12′17″±1.1″。