正弦序列
当14T = 3T0时， (n)为周期为14的周期序列 x
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第一章 离散时间信号与系统
四、用单位抽样序列来表示任意序列
任意序列可以表示成单位抽样序列的移位加权 和，即：
x ( n) =
m=−∞ m =−∞
∑ x(m)δ (n − m) = x(n) ∗δ (n)
∞
两个重要结论： 任意序列与 δ (n) 作卷积运算仍得到原序列。 任意序列与单位抽样序列的移位序列作卷积运 算则得到此序列作相同位的移位序列。
数字信号处理教程
第一章 离散时间信号与系统
吴 兰 richod@
第一章 离散时间信号与系统
学习目标
掌握序列的概念及其几种典型序列的定义，掌握 序列的基本运算，并会判断序列的周期性。 掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概 念并会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳 定性判断的充要条件。 理解常系数线性差分方程及其迭代法求解单位抽 样响应。 了解对连续时间信号的时域抽样，掌握乃奎斯特 抽样定理，了解抽样的恢复过程。
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（2）当 2π /ω0 是有理数时 其可以表示成： 其中P和Q为互为素数的整数 2π P = ω0 Q 取 k = Q ，则 N = P 即 x(n) 是周期为 P 的周期序列 【例】 4π
sin( 5
n)
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（3）当 2π /ω0 是无理数时 取任何k都不能使N为正整数。此时，正弦序列 不是周期序列。 【例】
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T0 = 当 为整数或者有理数时， (n) 为 x ω0 T
2π
周期序列。 令 T0 = N ，N,k为互为素数的正整数
T k
即 NT = kT0 N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期。
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【例】
3 x(n) = sin( × 2π n) 14 3 ω0 = × 2π 14 2π 14 N T0 = = = ω0 3 k T
k =−∞
∑ x(k )
n
它表示y(n)在某一个 n0上的值等于这一个n0上 的x(n0)值以及n0以前的所 有n值上的x(n)值之和。
序列的累加
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6、差分运算
前向差分
后向差分
∆x ( n) = x ( n + 1) − x ( n)
∆x (n) = ∇x (n + 1)
1 sin( n) 4
注：指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正 弦序列的情况相同。
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【例】 x ( n ) = e j ( n / 6 −π ) 判断 解：
x(n + N )
是否为周期序列
= e j[( n + N )/ 6 −π ] = e j[ n / 6 −π + N / 6] 若 x(n) 为周期序列，则必须满足 x ( n ) = x ( n + N )
序列移位
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第一章 离散时间信号与系统
例：
1 1 n ( ) , n ≥ −1 x(n) = 2 2 0, n < −1 1 1 n+1 ( ) , n + 1 ≥ −1 x(n + 1) = 2 2 0, n + 1 < −1 1 1 n ( ) , n ≥ −2 即x(n + 1) = 4 2 0, n < −2
1 1 n , n ≥ −1 x ( n) = 2 2 0, n ≺ −1 2n , n<0 y ( n) = n + 1, n ≥ 0
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序列求和
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4、积
x(n) = x1 (n) • x2 (n)
同序号n的序列值逐 项对应相乘
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上述问题可以分几种情况： （1）当 2π /ω0 是整数 （2）当 2π /ω0 是有理数 （3）当 2π /ω0 是无理数
（1）当 2π /ω0 是整数时 N 只要 k = 1 ， = 2π /ω0 就为最小正整数，周期 即为 2π /ω0 【例】 π
sin( n) 4
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2、翻褶
x(-n)是以n=0的纵 轴为对称轴将序列x(n)加 以翻褶
1 1 n , n ≥ −1 x ( n) = 2 2 0, n ≺ −1
序列翻褶
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第一章 离散时间信号与系统
3、和
x(n) = x1 (n) + x2 (n)
同序列号n的序列值 逐项对应相加
∇x(n) = x(n) − x(n −1)
∇x ( n) = ∆x ( n − 1)
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7、序列的时间尺度变换
x(n) 2 1 1/4 -2 1/2 -1 n 3
0
1
2
x(2n) 3
（1）抽取Байду номын сангаас抽取： x(n) x(mn), m 为正整数。 例如， m=2， x(2n) ，相当于两个点取一点， 组成一个新序列。
1 1/4 n -1 0 1
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8、卷积和
y (n) =
m = −∞
∑ x ( m )h ( n − m ) = x ( n ) ∗ h ( n )
∞
1. 2. 3. 4.
卷积和的运算在图形表示上可分为四步： 翻褶 h ( −m ) 移位 h ( n − m ) 相乘 相加
讨论正弦序列的周期性
由于 则
x(n) = A sin(nω0 + φ )
x(n + N ) = A sin[(n + N )ω0 + φ ] = A sin[nω0 + φ + N ω0 ]
N ω0 = 2π k 若 其中 k 为整数时， x(n) = x(n + N ) 则 A sin[ nω0 + φ ] = A sin[(n + N )ω0 + φ ] 即 这时正弦序列就是周期性序列，其周期满足 2π k N= ω0 （N,k必须是整数，k的取值保证N是最小正整数） 16
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第一章 离散时间信号与系统
三、序列的周期性
若对所有n存在一个最小的正整数N，满足
x(n) = x(n + N )
则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。 例： π π x(n) = sin( n) = sin[ (n + 8)] 4 4 因此，x(n)是周期为8的周期序列
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第一章 离散时间信号与系统
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第一章 离散时间信号与系统
一、序列的运算
移位 翻褶 和 积 累加 差分 时间尺度变换 卷积和
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第一章 离散时间信号与系统
1、移位
序列x(n)，当m>0时 x(n-m)：延时/右移 m位。 x(n+m)：超前/左移 m位。
1 1 n , n ≥ −1 x ( n) = 2 2 0, n ≺ −1
1 1 n , n ≥ −1 x ( n) = 2 2 0, n ≺ −1 2n , n<0 y ( n) = n + 1, n ≥ 0
序列求积
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第一章 离散时间信号与系统
5、累加
设某序列为 x(n)，则 的累加序列 y (n) 定义为：
y ( n) =
该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理 中，这些数字序列值按顺序存放于存储器中，此时 nT 代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔， 形成 x(n) 信号，称为序列。
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第一章 离散时间信号与系统
离散时间信号的图形表示（基于 离散时间信号的图形表示（基于MATLAB） ）
x(n) 代表第n个序列值，在数值上等于信号的采 x 样值。 (n)只在n为整数时才有意义。
即满足 N / 6 = 2π k ，其中N，k为整数。 而无论k取什么整数，N = 12π k 都是无理数 ∴ x(n) 不是周期序列
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第一章 离散时间信号与系统
【讨论】 如果一个正弦型序列是由一个连续正弦信号抽 样而得到的，那么，抽样时间间隔 T 和连续正弦信 号的周期 T0 之间应该是什么关系才能使所得到的抽 样序列仍然是周期序列？ 设连续正弦信号x(t ) 为： x(t ) = A sin(Ω0 t + φ ) 角频率 Ω0 = 2π f 0 ，信号的周期 T0 = 1 / f 0 = 2π / Ω0 抽样序列： x(n) = x(t ) t =nT = A sin(Ω0 nT + φ ) = A sin(ω0 n + φ ) T ω0 = Ω0T = 2π f 0T = 2π 21 T0
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第一章 离散时间信号与系统
序列：对模拟信号 xa(t) 进行等间隔采样，采 样间隔为 T ，得到：
xa (t ) t = nT = xa (nT ) −∞ < n < ∞
n 取整数。 x 对于不同的 n 值， a (nT )是一个有序的数字序列
：
⋯, xa (−T ), xa (0), xa (T ), xa (2T ),⋯
x(n − n0 ) = x(n) * δ (n − n0 )
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第一章 离散时间信号与系统
五、序列的能量
序列的能量为序列各抽样值的平方和
E = ∑ x( n)
n =−∞
∞
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