xa(t)
最高频率为fc t
xa (t )
S
ˆa (t ) x
0 P(t)
T
0

T
t
ˆa (t ) xa (t ) P (t ) x
0
ˆ a (t ) x
2T T t
理想采样过程示意图
采样信号与原模拟信号在时域的关系 用P(t)表示冲击函数串P(t)=
n
(t nT )
设模拟信号xa(t) ,冲击函数串P(t),采样脉冲 ˆ a (t )的傅里叶变换分别为 串以及采样信号 x
X a ( j) F xa (t ) ˆ j F x X a ˆa t P ( j) F [ P (t )] 其中F []表示傅里叶变换
对带限信号的抽样满足Ωc≤ Ωs/2时, 原来频谱和各次延拓分量的频谱不重叠, 如图b所示，
如采用一个截止频率为Ωs/2的理想 低通滤波器对采样信号进行滤波，就可 以不失真的还原出原来的连续信号。
但如果信号的最高频率Ωc超过 Ωs/2,则 各周期延拓分量产生频谱的交集,将无法还 原出原来的连续信号，即产生了“混叠失 真”，如图c所示。
2 sin c( t )(其中， s ) T T
2）理想低通滤波器(filter)的输出
y a (t )





ˆ a ht d x
xa mT mT ht d m
零阶保持器的单位冲击响应h1(t)及其频率 响应H1(jΩ)分别为 h1(t)= 1 0 ≤ t<T 0 其他
jt
H 1(t ) h1(t )e
dt e
0
T
jt
dt
sin( T / 2) jT / 2 T e T / 2
其时域与频域幅度波形图分别如下：
0
T
2T
3T
4T
xa (t )
n


sin[ xa (nT )
(t nT )
S 2 C
(t nT ) ] T (t nT ) T
T (t nT ) T
]
采样内插公式
采样内插公式说明：只要满足采样频率高 于两倍信号最高截止频率，则整个模拟信 号就可以用它的采样值来完全代表，而不 会丢失任何信息。 t

则
ˆa (t ) xa (t ) P (t ) x xa (t )
m
(t nT )

m


xa ( nT ) (t nT )
ˆ a (t ) 实际上是xa(t)在离散时刻nT的 因此 x 取值xa(nT)的集合。
ˆ a (t ) 的频谱 (2) 采样信号x
* Ωs/2通常称为折叠频率或奈奎斯特频率。 * X a ( j )
X a j
c ：要想连续信号采样后能够
不失真的还原出原信号，则采样频率必 须大于或等于两倍原信号频谱的最高频 率(Ωc≤ Ωs/2)，这就是奈奎斯特采样定理.
采样定理内容
k
将Xa(jΩ)和P(jΩ)带入 X a ( j式中，得 )
1 ˆ ( j ) X [ s ( k s ) X a ( j)] a 2 m
^
1 T 1 T 1 T



X a ( j ) k s d
k

k

X a ( j ) k s d
k
X
a
( j jk s )
即
1 ˆ X a ( j) X a ( j jk s ) T k

可见,采样信号的频谱是原模拟信号 的频谱以Ωs=2π/T为周期，进行周期性 延拓而成的。

例如：模拟信号xa(t)=sin(2πft+π/8))，式中 f=50Hz，选采样频率fs=200Hz，将t=nT代入Xa(t) 中，得到采样数据：
1 xa (nT ) sin(2 fnT ), T 8 fs 50 sin(2 n ) 200 8 1 sin( n ) 2 8
内插函数波形
的特性：
在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上， 其值为0。这保证了各抽样点上信号值不变。
4) xa t xa mT sin c[ t mT ] 的说明 T m

（1）在抽样点上，信号值不变； （2）抽样点之间的信号则由各抽样函 数波形的延伸叠加而成。 xa (t )
数字信号处理课件
第1章
上节内容回顾

线性卷积的计算

线性常系数差分方程
本节主要内容

模拟信号的数字处理方法
A/D转换的基本原理 D/A转换的基本原理

时域离散信号与系统的频域分析
1-5 模拟信号的数字处理方法
本节主要介绍模拟信号与数字信号 之间相互转换的基本数学原理。 为了利用数字系统来处理模拟信号， 必须先将模拟信号转换成数字信号，在数 字系统中进行处理后再转换成模拟信号。 其典型框图如下： xa(t) ya(t)
注： 本节重点与难点为时域采样定理其推导 过程以及物理意义。
1.5.1 时域采样定理
采样是将连续时间信号离散化的过程， 它仅抽取信号波形某些时刻的样值。 采样分为均匀抽样和非均匀采样，当 采样是取均匀等间隔点时为均匀采样，否 则为非均匀采样。
1. 理想采样及其频谱
采样过程：均匀采样可以看作为一个脉冲调制过 程，数学表示为 x ˆa (t ) xa (t ) p (t ) 。 xa(t)为调制信号即输入的模拟信号， p(t)为 载波信号是一串周期为T，脉宽为τ的矩形脉冲 ˆ a (t )。 串，调制后输出的信号就是采样信号 x 理想采样：当 τ 趋于零的极限情况时， 脉冲 序列p(t)变成了冲击函数串，称为理想采样。
S 2 C
0
C
2C
3C
4 C
S 2 C
可选s =(34)C 低通 采样
时域采样定理意义：

采样定理描述了采样信号的频谱与原模拟信 号频谱之间的关系，以及由采样信号不失真 恢复原模拟信号的条件。
A/DC原理：
采样 量化编码
• 通过按等间隔T对模拟信号进行采样， 得 到时域离散信号(序列)。 • 设A/DC有M位，那么用M位二进制数表示 并取代这一串样本数据，即形成数字信号。

当n=…0，1，2，3，…时，得到序列x(n)如下： x(n)={…0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879…} 设M=6,则数字信号为 x‘(n)={…0.01100,0.11101,1.01100,1.11101,…} x’(n)={…0.37500,0.90625,-0.37500,-0.90625…}
1.5.2 采样信号的恢复及D/A转换器
1. 采样信号的恢复
ˆ j 通过 如果采样信号 x ˆ a t 或X a s ) ，就可恢复原 一理想低通滤波器( 2 信号 xa t 或 X a j 。


S T , 2 G ( j ) , C S 2 0, S 2
ˆ ( j) X a
H ( j)
0
G ( j )
0
X a ( j )
0
由采样信号恢复原来的连续时间信号 的过程的数学原理 1）低通滤波器 的冲激响应h(t)
1 jt h(t ) H ( j ) e d 2 sin( s t / 2) sin( / T )t T s / 2 jt e d 2 s / 2 st / 2 ( / T )t
由频域卷积定理得
1 ˆ X a ( j) F xa (t ) P (t ) X a ( j ) P ( j ) 2
其中
X a ( j) F xa (t ) xa (t )e jt dt



P ( j) F [ P (t )] s ( k s )
由H1(jΩ)的波形可见，它是一个低 通滤波器，能起到将抽样信号转换成模 拟信号的作用。
第一章小结

序列的定义 典型序列的定义和性质

时域离散系统的定义和性质
如图所示（图中仅为其幅度谱）：
也就是说，理想采样信号的频谱是原模拟 信号频谱的周期延拓，周期为Ωs ，其频谱的幅 度与原信号的谱相差一个常数因子1/T。
如果xa(t)的频谱 Xa(jΩ)为
X a ( j )
X a j
c c
0
被限制在某一最高频率Ωc范围内，其频 谱如图a所示，则称其为带限信号。
sin[
(n+1)T (n+3)T (n+2)T
(n-1)T nT
实际采样
2. D/A转换器的基本原理
D/A转换器的框图如下：
译码将数字信号x(n)转换成采样信号 ˆ (t )，零阶保持器的作用是将每个 x(nT)= X a 采样信号的样值保持一个采样间隔宽度， 直到下一个采样时刻，相当于在一个采样 间隔内进行常数内插，变成模拟信号 X 'a (t ) 。图形如下：
m




xa mT mT ht d
m
x mT ht mT
a
m

xa mT sin c[

T
t mT ]
*输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。
3）内插函数 sin c[ (t mT )] T

对连续信号进行等间隔采样得到采样信号， 采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采