7
3）和
x(n)x1(n)x2(n) 同序列号n的序列值 逐项对应相加
8
4）积
x(n)x1(n)x2(n)
同序号n的序列值 逐项对应相乘
9
5）累加
n
y(n) x(k) k
10
6）差分
前向差分：
后向差分：
x(n )x(n 1 )x(n ) x(n )x(n )x(n 1 )
x(n)x(n1)
y(n)
h(n)
h(n)
y(n)
x(n)
y ( n ) x ( n ) h ( n ) h ( n ) x ( n )
38
结合律
x(n) h1(n)
y(n) h2(n)
x(n) h2(n)
y(n) h1(n)
x(n)
y(n)
h1(n)*h2(n)
x ( n ) * h 1 ( n ) * h 2 ( n ) x ( n ) * h 2 ( n ) * h 1 ( n ) h (n ) h 1 (n )* h 2(n ) y(n )x(n )*h (n )
的
▪ 不一定是因果的 ▪ 不一定是稳定的
47
差分方程
系统结构
y ( n ) a y ( n 1 ) x ( n )
x(n)
y(n)
Z-1
a
48
四、连续时间信号的抽样
xa(t)xˆa(t) x ˆa(t) x a(t)p T(t)
当 0 xˆa(t) xa(t)T(t)
49
讨论：
▪ 采样前后信号频谱的变化 ▪ 什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号
15
卷积过程图解
n=5
n=6
n=7
y(5)=-1+1=0 y(6)=0.5
y(n)=0, n7
16
卷积过程图解
17
卷积过程
卷积和与两序列的前后次序无关
y(n)x(n)h(n)x(m )h(nm ) m
x(nk)h(k)
nk
令 nmk 则 mnk
h(k)x(nk)h(n)x(n)
k
18
2、几种典型序列
97
是否是移不变系统
解 ： T [x (n m ) ] x (n m )s in (2n )
97
y (n m ) x (n m )s in [2(n m )]
9
7
T[x(nm)]
该 系 统 不 是 移 不 变 系 统
32
同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线 性移不变系统
LSI：Linear Shift Invariant
4
4
因此，x(n)是周期为8的周期序列
27
4、序列的能量 序列的能量为序列各抽样值的平方和
E
x(n) 2
n
28
二、线性移不变系统
一个离散时间系统是将输入序列变换成输 出序列的一种运算。
记为：T[]
x(n) 离散时间系统 y(n) T[ ·]
y(n)T[x(n)]
29
1、线性系统
若系统 T [ ]
LSI系统是因果系统的充要条件： h(n)0 n0
41
6、稳定系统
稳定系统是有界输入产生有界输出的系统 若
x(n)M
则 y(n)P
LSI系统是稳定系统的充要条件：
h(n) P
n
42
例：某LSI系统，其单位抽样响应为
h(n)anu(n)
试讨论其是否是因果的、稳定的。
解 ： 讨 论 因 果 性 ： Q n 0 时 h ( n ) 0
0 T /fs 0 ： 数 字 域 频 率 ： 模 拟 域 频 率
T： 采 样 周 期 fs： 采 样 频 率
数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率
24
7）任意序列
x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示 成与单位取样序列的卷积和。
x (n ) x (m )(n m ) x (n )(n )
50
1、理想抽样
冲激函数： T(t) (tmT)
m
理想抽样输出：
x ˆa (t) x a (t)T (t) x a (m T )(t m T )
m
求 理 想 抽 样 的 频 谱 X ˆa (j )
51
X a (j ) D T F T [ x a ( t) ] x a ( t) e j td t
满足叠加原理： y1(n)T[x1(n)] y2(n)T[x2(n)] 或同时满足：T [ a 1 x 1 ( n ) a 2 x 2 ( n ) ] a 1 y 1 ( n ) a 2 y 2 ( n )
可加性： T [ x 1 ( n ) x 2 ( n ) ] y 1 ( n ) y 2 ( n ) 比例性/齐次性： T [a x 1(n )]a y1(n )
33
3、单位抽样响应和卷积和
单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽样序列 ( n )时的系 统输出：
h(n)T[(n)]
(n)
h (n )
T[ ·]
34
对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出
x(n)
y(n)
T[ ·]
任 意 输 入 序 列 ： x (n ) x (m )(n m )
系统输出：
T (j ) D T F T [T (t)] 2 T k ( k s)
X ˆ a (j ) D T F T [ x ˆ a ( t) ] 2 1 [ X a (j ) * T (j ) ]
2 1 X a(j) T(j j)d
2 1[ X a (j)2 Tk ( k s)d]
与其他序列的关系 R N (n ) u (n ) u (n N )
N 1
R N ( n ) ( n m ) ( n ) ( n 1 ) ... [ n ( N 1 ) ] m 0
21
4）实指数序列
x(n)anu(n)
22
5）复指数序列
x (n ) e ( j 0 )n e n e j 0 n
其中： a,a1,a2为 常 数
则此系统为线性系统。
30
2、移不变系统
若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不 变系统（或时不变系统）
对 移 不 变 系 统 ， 若 T [x (n )]y (n ) 则 T [x (n m )]y (n m )， m 为 任 意 整 数
31
例：试判断
y(n)x(n)sin(2n)
n
44
三、常系数线性差分方程
用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。 一个N阶常系数线性差分方程表示为：
N
M
aky(nk)bm x(nm )
k0
m 0
其中： a 0 1 ， a k ， b m 是 常 数
45
求解常系数线性差分方程的方法：
1）经典解法 2）递推解法 3）变换域方法
46
一些关于差分方程的结论： ▪ 一个差分方程不能唯一确定一个系统 ▪ 常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性移不变
y (n ) x (n ) h (n )
一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输 入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)的 卷积和。
36
结论： 若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M， 则其卷积和的长度L为：
L=N+M-1
37
交换律s (0 n ) j e n s i n (0 n )
0 为数字域频率 例：x(n)=0.9nej3n
23
6）正弦序列
x (n ) A s in (0 n )
模拟正弦信号：
x a (t) A s in ( t)
x ( n ) x a ( t)t n T A s i n ( n T )
数字信号处理
第一章
1
目录
31
离散时间信号—序列
2
线性移不变系统
3
差分方程
4
采样定理
2
第一章 离散时间信号与系统
▪ 掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列
的基本运算，并会判断序列的周期性。
▪ 掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并
会判断，掌握线性移不变系统及其因果性/稳定性判 断的充要条件。
该 系 统 是 非 因 果 系 统
讨论稳定性：
0
Qh(n)anan
n
n
n0
1
1
a
1
a 1 a 1
当 a 1 时 系 统 稳 定 ， 当 a 1 时 系 统 不 稳 定 43
结论：
因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝 对可和的，即：
h n h(n)u (n)
h(n)
▪ 理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽
样响应。
▪ 了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽
样定理，了解抽样的恢复过程。
3
一、离散时间信号—序列
序列：对模拟信号x a ( t ) 进行等间隔采样，采样间隔为T，
得到
xa(t)t n Txa(n T ) n
n取整数。对于不同的n值，x a ( n T ) 是一个有序的数字序列： ...x a ( T ) ,x a (0 ) ,x a ( T ) ,x a (2 T ) ,... 该数字序列就是离散时间信 号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存储 器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔， 形成x(n)信号，称为序列。
39
分配律
h1(n)
x(n)
y(n)
h2(n)
x(n)
y(n)
h1(n)+h2(n)