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3.2.3 随机网络的直径和平均距离
n
随机网络的平均最短距离可以进行如下估计：考虑随机 网络的平均度＜k＞，对于任意一个节点，其一阶邻接 点的数目为＜k＞，二阶邻接点的数目为＜k＞2。也就 是说，在ER随机图中随机选择一个节点vi，网络中大约 有＜k＞Lrand个节点与节点vi的距离为Lrand。依此类推 ，当l步后达到网络的总节点数目N，有N＝＜k＞l，故
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3.3.1 小世界网络模型
2.NW小世界模型 NW小世界模型是通过用“随机化加边”取代WS小 世界模型构造中的“随机化重连”而得到的，具体构造 算法如下： ①从规则图开始：考虑一个含有N个点的最近邻耦合网络 ，它们围成一个环，其中每个节点与它左右相邻的各K／ 2个节点相连，K是偶数。参数满足N>>K>>ln（N）>>1。 ②随机化加边：以概率p在随机选取的一对节点之间加上 一条边。其中，任意两个不同的节点之间至多只能有一 条边，并且每一个节点都不能有边与自身相连。
n 各节点的度均为N－1，因此度分布为单尖峰，可以表示为Delt a函数P（k）＝δ（k－N＋1）。 n 每个节点vi的聚类系数均为Ci＝1，故整个网络的聚类系数为 C＝1。 n 从任意一个节点到另外一个节点最短路径长度都为1，故整个 网络的平均距离为L＝1。 n 在具有相同节点数的所有网络中，全局耦合网络具有最小的 平均距离和最大的集聚系数。该模型作为实际网络模型的局限性 很明显：全局耦合网络是最稠密的网络，然而大多数大型实际网 络都是很稀疏的，它们边的数目一般至多是O（N）而不是O（ N2） 。 4
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3.2.2 随机网络的度分布
对于大范围内的p值，最大和最小的度值都是确 定性的和有限的。例如，若p（N）∝N-1-1/k，几乎 没有图有度大于k的节点。另外一个极值情况是，若 p＝［ln（N）＋kln（ln（N））＋c]／N，几乎每 个随机图都至少有最小的度k。下图给出N＝1000， p＝0.0015时随机网络的度分布，其中图中的点代表X k／N（度分布），而连续曲线代表期望值E（Xk）／ N＝p（ki＝k），可以发现两者偏离确实很少。
n
3.3 小世界网络
¢ 3.3.1 ¢ 3.3.2 ¢ 3.3.3 ¢ 3.3.4
小世界网络模型 小世界网络的度分布 小世界网络的平均距离 小世界网络的集聚系数
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3.3.1 小世界网络模型
1.WS小世界模型 WS小世界模型的构造算法如下： ①从规则图开始：考虑一个含有N个节点的最近邻耦合 网络，它们围成一个环，其中每个节点与它左右相邻的各 K／2个节点相连，K是偶数。参数满足N>>K>>ln（N ）>>1。 ②随机化重连：以概率p随机地重新连接网络中的每条边， 即将边的一个端点保持不变，而另一个端点取为网络中随 机选择的一个节点。其中规定，任意两个不同的节点之间 至多只能有一条边，且每个节点都不能有边与自身相连。 这样就会产生pNK／2条长程的边把一个节点和远处的节 23 点联系起来。
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3.2.2 随机网络的度分布
在连接概率为p的ER随机图中，可知其平均度为 而某节点vi的度ki等于k的概率遵循参数为N－1 和p的二项式分布 值得注意的是，若vi和vj是不同的节点，则P（ki ＝k）和P（kj＝k）是两个独立的变量。为了找到随 机图的度分布，需得到度为k的节点数Xk。为此，需 要得到Xk等于某个值的概率P（Xk＝r）。连接度为k 的平均节点数为
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3.3.1 小世界网络模型
最近邻耦合网络（对应p＝0）是高度集聚的（C（0）≈3 ／4），但平均距离很大（L（0）≈N／2K>>1）。当p较 小时（0＜p<<1），重新连线后得到的网络与原始的规则 网络的局部属性差别不大，从而网络的集聚系数变化也不 大（C（p）∝C（0），但其平均距离下降很快（L（p ）<<L（0））。 这个结果是不难想象的：一方面，只要几条边的随机 重连就足以减小网络的平均距离；另一方面，几条随机重 连的边并不足以改变网络的局部集聚特性。 这类既具有较短的平均距离又具有较高的集聚系数的 网络就是典型的小世界网络。
社会网络分析与算法研究
第三章 规则网络与随机网络模型
n 社会网络的研究大致可以描述为以下密切相关但又依次深入的 方面： ① 大量的真实网络的实证研究，分析真实网络的统计特性； ② 构建符合真实网络统计性质的网络演化模型，研究网络的形成机
3.3.1 小世界网络模型
在上述模型中，p＝0对应于完全规则网络，p＝1则对 应于完全随机网络，通过调节p值就可以控制从完全规则 网络到完全随机网络的过渡，如下图所示。
由上述算法得到网络模型的集聚系数C（p）和平均距 离L（p）都可看作是重连概率p的函数，如下图所示。图 中对集聚系数和平均距离作了归一化处理。
3.1 规则网络
n 最近邻耦合网络：对于拥有N节点的网络来讲，通常将每个节 点只与它最近的K个邻居节点连接的网络称为最近邻耦合网络， 这里K是小于等于N－1的整数。 n 若每个节点只与最近的2个邻居节点相连，这样所有节点相连就构成
了一维链或环，如下图（a）所示。如下图（b）所示的二维晶格也是 一种最近邻耦合网络。一般情况下，一个具有周期边界条件的最近邻 耦合网络包含N个围成一个环的节点，其中每个节点都与它左右各K／ 2个邻居节点相连，这里K是偶数，如下图（c）所示。
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3.2.1 随机网络模型
②二项式模型： n 给定N个节点，每一对节点以概率p进行连接。这样， 所有连线的数目是一个随机变量，其平均值为 M＝p N（N－1）／2。 n 若G0是一个节点为v1，v2，…，vN和M条边组成的图 ，则得到该图的概率为 P（G0）＝p M（1－p）N(N-1)/2-M 其中p M是M条边同时存在的概率，（1－p）N(N-1)/2-M 是 其他边都不存在的概率，二者是独立事件，故二概率相 乘即得图G0存在的概率。
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3.3.1 小世界网络模型
在NW小世界模型中，p=0对应于原来的最近邻 耦合网络，p=1则对应于全局耦合网络，如下图所示 。在理论分析上，NW小世界模型要比WS小世界模 型简单一些。当p足够小和N足够大时，NW小世界 模型本质上等同于WS小世界模型。
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3.3.1 小世界网络模型
5
n 每个节点vi的度均为K， 因此度分布为单尖峰，可以 表示示为Delta函数 P（k）＝δ（k－K） 。 n 最近邻耦合⺴网网络的平均集聚系数就是每个节点的集聚 系数： C＝Ci＝3（K－2）／［4（K－1）］ 。对较大大 K值，容易得到C≈0.75 。可⻅见，最近邻耦合⺴网网络集聚 程度还是很高高的。 n 最近邻耦合⺴网网络不是小小世界⺴网网络，因为对固定K值， 该⺴网网络直径D和平均距离L分别为D=N／K，L≈N／（2 K）；当N →∞，L→∞。
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3.2 随机网络
¢ 3.2.1 ¢ 3.2.2 ¢ 3.2.3 ¢ 3.2.4
随机网络模型 随机网络的度分布 随机网络的直径和平均距离 随机网络的集聚系数
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3.2.1 随机网络模型
随机网络构成有两种等价方法： ① ER模型：
n
给定N个节点，最多可以存在N（N－1）／2条边，从 这些边中随机选择M条边就可以得到一个随机网络， 显然一共可产生 种可能的概率相同。 种可能的随机图，且每
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n 中心心节点的度为N－-1，而而其它节点的度均为1，所以 星型耦合⺴网网络的度分布可以描述为如下函数 n 星形⺴网网络的平均距离为L＝2－2／N 。当N→∞，L→2。 n 假设定义一一个节点只有一一个邻居节点时，其聚类系数 为1，则中心心节点的聚类系数为0，而而其余N-1个节点的 聚类系数均为1，所以整个⺴网网络的平均聚类系数为C＝（ N－1）／N 。当N →∞，C→1。 n 由此可见，星型耦合网络是比较特殊的一类网络，它具 有稀疏性、集聚性和小世界特性。
6
【例3.1】用用Matlab程序绘制最近邻耦合⺴网网络，并给出具体程序 代码。 解：（1）最近邻耦合⺴网网络绘制的Matlab程序如下：
7
8
最近邻耦合网络
（2Байду номын сангаас当N＝20，K＝6时，该程序的仿真结果如下图所示示。
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n 星形耦合网络：它有一个中心点，其余的N-1个点都只与这
个中心点连接，而彼此之间不连接，如下图所示。
制和内在机理；
③ 研究网络上的动力学行为，如网络上的信息传播机制等。 ④ 研究预测网络性质的模型：采用机器学习算法研究网络节点的
分类与聚类，预测网络链接及拓扑结构的发展趋势等。
n 本章针对第二个方面，研究网络演化的机制与模型。
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即
。
3.2.2 随机网络的度分布
Xk值的概率接近如下泊松分布 这样一来，度为k的节点数目Xk满足均值为λk的泊松分布 。上式意味着Xk的实际值和近似结果Xk＝N·P（ki＝k） 并没有很大偏离，只是要求节点相互独立。这样，随机图 的度分布可近似为二项式分布 在N比较大的条件下，它可以被泊松分布取代 由于随机网络中节点之间的连接是等概率的，因此大 多数节点的度都在均值＜k＞附近，网络中没有度特别大 的节点。
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3.2.3 随机网络的直径和平均距离
对于大多数的p值，几乎所有的图都有同样的直径。 这就意味着连接概率为p的N阶随机图的直径的变化幅度 非常小，通常集中在 一些重要的性质：若＜k＞小于1，则图由孤立树 组成，且其直径等于树的直径。若＜k＞大于1，则图中 会出现连通子图。当＜k＞大于等于3.5时，图的直径等 于最大连通子图的直径且正比于ln（N）。若＜k＞大于 等于ln（N），则几乎所有图是完全连通的，其直径集中 在ln（N）／ln（pN）左右。