（3）规定
（ 4）
。
（5）如果 是分段光滑的：
，则
。
（6）如果 是封闭曲线，特记为 。
所围成的区域。
解二：画出积分区域的草图。 因为 D虽然是 X----型区域，但由于在定限时，第一次积分的上、下限发生了一次
改变，故不得已对 D进行分块。（作图：用直线
将 D分成
其中，
，
于是，有
。
注意；由例 2可见，对此题，虽然两种积分次序都可行，但第二种显然更麻烦。我们说有些 时候，就不仅仅是麻烦的问题了，如果积分次序选得不合适，可能做不出来。请看下面的
解：（1）这里
。画出草图如右。
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为三块：
，则
其中，
，
，
于是，有：
例 9。对 （1）画出积分区域的草图；（2）更换积分次序。
解：（1）这里 记
，
。分别画
出草图如右。则
（2）更换积分次序，即要将积分区域视为 X----型区域。为定限方便，需将积分区域分 为四块：
，所以，
3．由积分中值定理，知：
注意：（6）关于重积分的对称性 （i）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
为奇，则
=0；
关于 y（或 X）
（ii）如果积分区域 D关于 X轴（或 Y）轴 对称，且被积函数
关于 y（或 X）
为偶，则
（其中， 为 D的上（右）一半区域）。
三.二重积分的计算 （一）利用直角坐标计算二重积分
的上、下限； （三）。计算累次积分。 注意：选择积分次序的原则 （一）。选择的积分次序使积分区域 D尽可能的少分块，以简化计算过程。 （二）。第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次计算的结果作第二 次积分。 （三）。确定上、下限是重积分的关键。
例 8．对
（1）画出积分区域的草图；（2）更换积分次序。
（2）如欲利用对称性，应先在直角坐标系下用完对称性后，再用极坐标计算。
例 13。解：
注意：若利用对称性
例 14．计算 解：画出积分区域的草图。
从而，
，其中 D是由圆周
所围成的区域。
注意：对上例，如先在直角坐标系下使用对称性，问题将大大地简化。
例 15．求球面 柱体内的部分）。（作图） 解：利用对称性
，则
其中，
，
，
，
于是，有：
例 10。计算
解：此题中积分区域本来是非常规范的矩形域
但由于被积函数为分段函数
积分区域分成两个小区域。
即
，则原式=
其中，
，
于是，有原式=
（画图）
，故需要用抛物线
将
例 11。设在闭区间
上
连续且恒大于零。试利用二重积分证明：
证明一：考虑到定积分与变量的记号无关。故有： ----（1）以及
（三）求和：质点沿整个有向曲线段 L移动过程中力 所做的功
。（注意到功是标量） （四）取极限：规定
。定义：设 L为 xoy平面内从点 A到点 B的一条有向光滑的曲线弧。函数
在 上有界。在 L上沿 L的方向从点 A到点 B任意插入 n-1个分
点
，把 L分割成 n个小的有向弧段，记为：
当各小弧段长度的最大值
，所以只须确定被积函数在积分区域
上的符号即可。
为此，先画出积分区域 D的草图。（作图，D为正方形区域）。我们说：在区域 D内任意一
点都有
事实上，由于对于任意的
有：
-----（3），
（3）式两边同时积分，得：
。
所以，
取负号。
注意：其实，通过作图可显见
例 2． 比 较
与
的 大 小 。 其 中 ， D是 圆 域
显然，上述解法即使可以得到结果，也将是非常麻烦的。其实，这种做法不仅仅是麻烦的问 题，这四份积分中的任意一份都不可积。因此，此种解法是行不通的，须另寻其他方法。其 实，如果用下面我们将要介绍的计算二重积分的第二种方法------极坐标下计算二重积分， 上述例子将很容易解决。
1。由直角坐标到极坐标计算二重积分的变换公式： ------（*）
2。公式（*）的解释。 3。将极坐标系下的二重积分化为二次定积分
（1）极点 O在区域 D的外部
，则
（2）极点 O在区域 D的边界上 ，则
-----（7）
（3）极点 O在区域 D的内部 ，则
-----（8）
-----（9）
注意：（1）在极坐标下化二重积分为二次积分一般都是先对 r后对 积分。当积分区域是圆 域或圆环域或它们的一部分时，可以优先考虑在极坐标下来做。
解：只须考察
还是
？（作图即可显见
）
由于对于任意的
有：
---（4），
所以，
，
故，
所以，
。
例 3．估计
的大小。其中，
解：由性质 6，问题的关键在于求被积函数
在闭区域
上的最值。
1． 因为
，所以，
此，最值必在 D的边界上达到。 2． 作拉格朗日函数
在 D内无驻点，也无不可偏导的点。因 ，
令
解之，
或
。
由于，
即
与圆柱面 ，其中，
所包围的立体的体积（指含在 。
例 16．计算 解：利用对称性： 例 17．将 解： 例 18．计算 解：设
所以，
转化为极坐标下的二次积分。 则
例 19．将二次积分
化为极坐标下的二次积分。
解；由积分限画出积分区域 D，如图所示。
例 20． 将 二 重 积 分
表 为 极 坐 标 形 式 的 二 次 积 分 。 其 中 ， D为
第七章 多元积分学 一.二重积分的概念
多元函数的积分学是一元函数积分学的推广.一元函数的积分学中，大家知道，引入 定积分概念的基本思想方法可以概括成九个字：分割----代替-----求和-----取极限。如 果把这种思想方法推广到多元函数中去，就得到重积分的概念.
例 1．确定积分
的正、负号。
解：由定义，
（且 x不能取负值），即图形在 Y轴右边，且经过原点。
因为
，
当
当
因此，当
时，有最大值 2 ;当
时，有最小值 0。从而可大致画出 D来。如右所示。 所以，由对称性，
例 23． 四。第一型曲线积分
先看引例求曲线型构件的质量：已知曲线型构件位于 xoy平面内的一段曲线弧 L
在点
处，线密度是
，在 上连续。求此构件的质量 M=？
所围成的区域。
解：作图。
。
例 21 ． 用 极 坐 标 表 示
，其中区域 D由不等式
解：由题意知，D在第一象限（因为 又
所确定。 ）
这是四叶玫瑰线所围的区域。
，故
例 22．计算由 解：
。 所围成的区域的面积。
但此曲线用直角坐标则很难画出。为此，先把它转换为极坐标。
极坐标方程为：
。由曲线方程可知：图形对称于 X轴
无论
如何选取，极限
总存在而且相等，则
称此极限值为函数
在有向曲线弧 L上对坐标 y的曲线积分，记作：
其中
称作被积函数，L称做积分弧段或积分路径。以上定
义的两种积分称为对坐标的曲线积分（或第二型的曲线积分）。 几点注意：
（1）注意这里的积分曲线弧是讲究方向的！记号
及
中
的 dx,dy相当于定义中的
，是小有向线段
。设
向 ox及 oy轴的投影为
，并任取点
。如果
时 ， 无 论 对 有 向 曲 线 弧 L如 何 分 割 ， 也 无 论
如何选取，极限
总存在而且相等，则称此极
限值为函数
在有向曲线弧 L上对坐标 x的曲线积分，记作：
；------
（4） 类似地，如果当各小弧段长度的最大值
时，无论对有向曲线弧 L如何分割，也
在 的第一型曲线积分
几点注意：
（1）在定义中，
中 x,y不是独立的，共同受 的方程的约束，即：
。
由此启发我们计算第一型曲线积分的方法是将其化为一元函数的定积分进行计算。 其实，这点从第一型曲线积分的记号上也可以猜出。
（ 2）
。
（3）如果 是分段光滑的：
，则
。
（4）如果 是封闭曲线，特记为
。
（5）
之长度。
-----（2）
所以，
---------------（3）
其中，
同时， （1）+（2），得：
-----------------（4），
即：
证明二：因为
，
所以，
。 ，即：
------（5）
（5）式左边是 的非负二次三项式，因此必有判别式
，故
计算二重积分还有另一套系统即 （二）极坐标下计算二重积分 前面我们学习了利用直角坐标计算二重积分的方法，介绍了两个公式。但是，我还要告诉大
例 7。求
，其中是由抛物线
及直线
所围成的区域。
解一：画出积分区域的草图。（视 D为 Y—型区域）
第一次积分就积不出来了。可见，这种次序行不通，让我们换一种次序再试试。 解二：画出积分区域的草图。（视 D为 X----型区域）。
。
总结：计算二重积分的一般步骤 （一）。先画出积分区域 D的草图； （二）。根据积分区域 D及被积函数的特点，恰当地选择积分次序，并定出两次积分
向 Ox轴、Oy轴上的投影，
因此，未必
（i=1,2,..,n），这一点与一元函数的定积分
记号
中的 dx有本质的区别（那里，
，表第 i(i=1,2,…,n)个小区间的长度！;
（2）