昆明一中第八期全国大联考 参考答案（文科数学）命题、审题组教师 杨昆华 李文清 孙思应 梁云虹 王在方 卢碧如 凹婷波 吕文芬 陈泳序一、选择题1. 解析：由题意，集合(0,)A =+∞，集合(0,)B =+∞，选A ．2. 解析：由题意，103i 3iz ==-+，选B ． 3. 解析：根据题意，由ˆ 1.20b=>，选A ． 4. 解析：因为2π1cos π1sin 12cos 24223ααα⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭，选C ． 5. 解析：如图所示函数2z x y =-在点(1,2)C -处取得最小值，且1225z =--⨯=-，选D ．6. 解析：根据正弦定理由2sin 2sin sin B A C =得22b ac =，结合2b a =可得出2c a =，所以由余弦定理得2222222441cos 244a cb a a a B ac a +-+-===，选B ． 7. 解析：由题意知函数()log a f x x =，当1a >时，对数函数在()0,+∞上是增函数，且二次函数的对称轴为正数，且二次函数的图象开口向上，过坐标原点；当01a <<时，对数函数是()0,+∞上的减函数，且二次函数开口向下，过原点，综上图象可能的是A ，选A ．8. 解析：由题意，令()()f x g x =，可得1x =，故当1x ≥时，()m g x =，所以3113(3)3P -==--，选C ．9. 解析：设曲线()y f x =与()y h x =在公共点00(,)x y 处的切线相同，()2f x x '=，6()4h x x '=-；由题意可知0000()()()()f x h x f x h x =⎧⎨''=⎩，所以2000006ln 4624x m x x x x⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩；由00624x x =-可得01x =或03x =-（舍去），代01x =入2006ln 4x m x x -=-可得5m =，选D ．10. 解析：由题意可知，△ACB 与△APB 均为直角三角形，设点D 为AB 边的中点，则221=====AB DP DC DB DA ，所以点D 为三棱锥ABC P -的外接球的球心，故三棱锥ABC P -的外接球的半径2=R ，三棱锥ABC P -的的外接球的表面积为2π4R S =16π=，选D ．11. 解析：由题意可知，将平面α平移到平面BD A 1，则直线l B A 1//，直线m D A 1//，又△BD A 1为等边三角形，可得3π1=∠D BA ，所以，直线l 与直线m 所成角的大小为π3，选C ．12. 解析：设00(,)M x y ，则008x y =，以OM为直径的圆方程为22220000()()224x y x y x y +-+-=，即22000x y x x y y +--=；又因为AB 为圆22000x y x x y y +--=与圆221x y +=的公共弦，所以两圆作差可得直线AB 的方程为001x x y y +=，所以点O 到直线AB 距离为14d =≤=，当且仅当00008x y x y =⎧⎨=⎩，即00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩d 取得最大值14，选B ．二、填空题13. 解析：因为a ∥b ，所以(1)(4)23m m -+=⨯，所以5m =-或2m =，又因为a 与b 方向相反，所以5m =-． 14. 解析：因为2c =，b a =，而222a bc +=，所以23a =，21b =，所以双曲线C 的方程为22 1 3x y -=．15. 解析：据题意，四边形ABCD 为平行四边形，且432BC ⨯=，即8BC =，所以()f x 的最小正周期为8，由2π8ω=得π4ω=． 16. 解析：由()0f x =可得2266e x x x m ++=，令2266()exx x h x ++=，则2222(1)()e e x xx x x x h x ---+'==；由()0h x '>可得(1,0x ∈-，由()0h x '<可得(,1)(0,x ∈-∞-+∞，所以2266()e xx x h x ++=在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-和(0,)+∞上单调递减；当1x =-时，()=(1)2e h x h -=极小值，当0x =时，()=(0)6h x h =极大值；由题意知函数()y h x =与y m =有且仅有一个交点，由函数()y h x =及y m =的图象可得(0,2e)(6,)m ∈+∞．三、解答题 （一）必考题17. 解：（1）由1n n S a =-+ 得 111n n S a ++=-+，两式相减得：11n n n n S S a a ++-=-+， 即11n n n a a a ++=-+， 即112n n a a += (1)n ≥， 所以数列{}n a 是公比为12的等比数列， 又由111a a =-+得 112a =， 所以1112nn n a a q -⎛⎫== ⎪⎝⎭； ………6分 （2）因为()()12n b f a f a =++……()n f a +12=++……()12n n n ++=，所以()1211211n b n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， 所以11121223n T ⎡⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣ (1)11n n ⎤⎛⎫+- ⎪⎥+⎝⎭⎦122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． ………12分18. 解：（1）由列联表可得()()()()()()2223042816107.87912182010n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响． ………6分（2）根据题意，所抽取的5名同学中“学习成绩优秀”有1名同学，“学习成绩不优秀”有4名同学．………8分（3）学习成绩不优秀的4名同学分别记为A ，B ，C ，D ；“学习成绩优秀”有1名同学记为E ．则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：(),,A B C ，(),,A B D ，(),,A B E ，(),,A C D ，(),,A C E ，(),,A D E ，(),,B C D ，(),,B C E ，(),,B D E ，(),,C D E ，共有10种；抽取3人中恰有2名同学为“学习成绩不优秀”所含基本事件为：(),,A B E ，(),,A C E ，(),,A D E ，(),,B C E ，(),,B D E ，(),,C D E 共有6种，所求为63105P ==． ………12分19. 解：（1） 由题意，⊥AB 平面C C BB 11，⊂D B 1平面C C BB 11，可得D B AB 1⊥，又△BC B 1为等边三角形，点D 为BC 边的中点， 可得D B BC 1⊥，AB 与BC 相交于点B ， 则D B 1⊥平面ABC ，⊂D B 1平面D AB 1，所以，平面D AB 1⊥平面ABC ． ………6分 （2）因为△ABC 为直角三角形，2==BC AB ，所以2=∆ABC S ，由（1）可知，在直角三角形D BB 1中，0160=∠BC B ，221==BB BD ， 可得31=D B ，故D B S V ABC 1⋅=∆32=，所以，三棱柱111ABC A B C -的体积为32． ………12分20. 解：（1）由已知，点(,0)，(1,在椭圆1C 上，所以 221 a=，2211 1 2a b +=，解得：22a =，21b =，所以1C ：221 2x y +=； 点(2,1)， (4,4)-在抛物线2C 上，所以2p =，所以2C ：24x y =． ………4分 （2）设2(,)4m P m （0m >），由24x y =得12y x '=， 所以切线l 的方程为：2()42m my x m -=-， ………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由222()4212m m y x m x y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：4223(2)404m m x m x +-+-=，由0∆>，31222m x x m +=+得322(2)D m x m =+，代入2()42m my x m -=-得222(2)D m y m -=+，所以1D OD D y k x m ==-，所以OD l ：1y x m=-， ………10分 由1x my x m =⎧⎪⎨=-⎪⎩得1y =-，所以点Q 在定直线1y =-上． ………12分21. 解：（1）因为()()2121210mx x f x mx x x x-+'=-+=>，依题意知2210mx x -+<在()0,+∞上有解． 当0m ≤时显然成立；当0m >时，由于函数221y mx x =-+的图象的对称轴104x m=>，故需且只需0∆>，即180m ->，解得18m <，故108m <<． 综上所述，实数m 的取值范围为1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． ………5分（2）因为()11f m =-，()12f m '=，故切线L 的方程为()121y m m x -+=-， 即21y mx m =--．从而方程2ln 21mx x x mx m -+=--在()0,+∞上有且只有一解． 设()()2ln 21g x mx x x mx m =-+---， 则()g x 在()0,+∞上有且只有一个零点． 又()10g =，故函数()g x 有零点1x =．则()()()()222112111212mx m x mx x g x mx m x x x-++--'=-+-==．当12m =时，()0g x '≥，又()g x 不是常数函数，故()g x 在()0,+∞上单调递增． 所以函数()g x 有且只有一个零点1x =，满足题意． 当102m <<时，由()0g x '=，得12x m=或1x =，且112m >． 由()0g x '>，得01x <<或12x m>； 由()0g x '<，得112x m<<． 所以当x 在()0,+∞上变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：根据上表知02g m ⎛⎫< ⎪⎝⎭．而函数()12ln 1g x mx x m x m ⎡⎤⎛⎫=-++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．所以120g m ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，故在1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，函数()g x 又存在一个零点，不满足题意．综上所述，12m =． ………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。